Из педагогической практики преподавателей математики (высшей математики) известно, что изучение вопроса об обратных матрицах зачастую вызывает затруднения у студентов. Затруднения возникают в связи с тем, что сам процесс получения обратной матрицы представляется обучающимся надуманным. Указанное является причиной того, что большая часть студентов во время решения систем линейных уравнений (n×n) стараются не использовать метод решения систем матричным способом, всё чаще используя, если появляется возможность, электронные помощники – математические редакторы, «интернет-решатели» на доступных сайтах.
Один из авторов статьи (Часов К.В.) со своими студентами ещё с 2007 года начал исследование вопроса решения систем линейных уравнений, когда после изучения темы об обратных матрицах и их применении один из студентов (Кендюхов В.С.) заявил ([3]), что может решать системы без вычисления обратной матрицы. И, хотя анализ решения на занятии выявил большое количество ошибок и практически нерешённость примера, идея была признана удачной. Так учебно-исследовательская работа по решению домашней задачи перешла в разряд научно-исследовательской. Была опубликована статья ([3]), проект направлялся на внешние конкурсы.
Работа над методами решения систем линейных уравнений без использования обратной матрицы была продолжена в работе студента Колупаева И.А. ([4]), который с одним из авторов статьи (Часов К.В.) разработал программу в математической среде MathCAD, реализующая идею Кендюхова В.С. для деления «слева» и «справа» квадратных матриц одного размера.
В случае стандартного подхода к изучению теории матриц, решение систем линейных уравнений приходится проводить с использованием обратных матриц. Некоторым студентам процесс вычисления обратной матрицы приходится просто заучивать. К примеру, дана матрица 3-го порядка, для которой требуется получить обратную матрицу. Вычисляют определитель. Если он отличен от нуля, то далее…
– для чего-то вычисляются алгебраические дополнения к каждому элементу исходной матрицы;
– алгебраические дополнения располагаются в матрице 3-го порядка в том же порядке, в каком и были записаны сами элементы (что практически не вызывает вопросов у обучающихся);
– матрица транспонируется (а это вообще непонятно достаточно многим студентам – для чего?).
То, что каждый элемент полученной матрицы делится на определитель исходной матрицы, конечно же, понятно, как и само существование обратной матрицы зависит от того, что исходная матрица не вырожденная. В результате получается искомая обратная матрица. Но в совокупности указанные шаги не складываются в мышлении обучающихся в единую картину. Очевидно, что там, где нет наглядности, там исчезает смысл и, следовательно, пропадает понимание. Кроме того, необходимо учитывать высокий уровень абстракции при выполнении операции вычисления обратной матрицы.
Совершенно другая ситуация возникнет, если обучающийся сам произведёт вполне определённые выкладки в среде MathCAD, введённые в интерактивный обучающий документ [1, 5], которые в этом случае просто наглядны, но всё равно остаются «вещью в себе». Но при этом студент будет всё-таки «доверять» электронному, бездушному помощнику, который при этом не сможет объяснить студенту: а почему так, а не иначе(?). По этой причине в интерактивный обучающий документ вводимый в текстовом редакторе Word необходимо включать соответствующие комментарии по каждому этапу выкладок или вычислений.
Задаём исходную матрицу в математической среде в общем виде (символьное представление), выделяем всю матрицу и в системном меню выбирает пункт «Символы», в выпавшем меню строку «Матрица >», в котором появляется своё выпавшее меню, в котором выбираем строку «Инвертировать». Ниже появится матрица очень большого размера (рисунок).
а) первый столбец обратной матрицы
б) второй столбец обратной матрицы
в) третий столбец обратной матрицы
Вычисление обратной для матрицы, заданной в символьном виде, в математической среде MathCAD
Очевидно, что в каждом знаменателе полученной матрицы находится определитель исходной матрицы, вычисленный с помощью правила Саррюса, которое обучающиеся уже знают и легко могут проверить указанный факт. Проверка должна происходить вручную. При необходимости, если студент не очень понимает почему вычисления производятся таким образом, он должен включить в документ соответствующий поясняющий комментарий. Необходимо отметить, что при изучении определителей, обучающиеся также не имеют чёткого представления об этом понятии. И только решение систем линейных уравнений помогает студентам понять необходимость ввода понятия определитель. Для небольшой части группы студентов это понятие всё-таки остаётся «вещью в себе» и они просто заучивают соответствующее определение, собственно как и некоторые операции с матрицами (а для чего они нужны?).
В получившейся матрице в числителях первого столбца (рисунок, а)) – алгебраические дополнения для элементов первой строки исходной матрицы, аналогично и для второго и третьего столбцов (рисунок, б), в)). Вследствие этого, если перемножить исходную матрицу и полученную, получим единичную, как этого и требует определение обратной матрицы. Только указанное действие придётся выполнять вручную, т.к. исходная матрица задана в символьном виде – её элементы не заданы и математическая среда не поддерживает подобные вычисления. Проведённые операции вручную ещё предстоит студентам ввести в интерактивный обучающий документ. Здесь преследуется следующая цель – кроме мыслительной деятельности и запоминания действует зрительная и мышечная память.
Приведённые выше вычисления, решения задач на определение обратных матриц, в том числе задач с системами, решаемых матричным способом, а так же, как упоминалось и ручные выкладки, обучающиеся сводят в интерактивный обучающий документ ([7]), располагающийся в информационной обучающей среде кафедры [1, 2]. Из всего многообразия предложенных вариантов отбираются наилучшие результаты, которые дополняются наиболее удачным содержанием из других документов, что решается совместно всеми обучающимися группы.
Самостоятельно анализируя указанный в статье фрагмент (рисунок), обучающиеся, не разобравшиеся на лекции с получением обратной матрицы, начинают понимать – зачем нужно вычислять соответствующие алгебраические дополнения, почему их нужно располагать в матрице именно так, а не иначе. Но, правда, необходимо, чтобы студент всё-таки желал и был мотивирован изучить проблему, хотя бы с точки зрения своей учебной работы.
Подводя итог, укажем, что при указанном способе изучения информация визуализируется, перестаёт быть для студента «вещью в себе». Становится очевидным, что учебно-исследовательская деятельность студентов по освоению обратных матриц проходит в активной и интерактивной формах, что и было целью преподавателя [6], а сама математическая среда MathCAD в указанном случае становится интерактивным помощником (и, в каком-то смысле, учителем). Несомненно, что учебно-исследовательская деятельность студентов перерастает в научно-исследовательскую деятельность.