Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

THE USE OF THE MATRIX METHOD IN THE STUDY OF ECONOMIC PROCESSES

Zherlitsina P.V. 1 Meleshko S.V. 1
1 Stavropol State Agrarian University
2456 KB
One of the main methods of solving economic problems is the matrix method. Nowadays it is especially important to use matrices to create a new database, as all the information is processed and stored in a matrix form. The matrix first appeared in Ancient China and was called a «magic square». Later it became famous for Arab mathematicians. At the end of the XVII century Swiss scientist Gabriel Cramer developed his theory, and in 1751 he published a method of solving systems of linear equations- «Cramer’s rule». Thus, a section called matrix algebra appeared in mathematics. Matrix algebra is very important in economy. The matrix is organized as a system of information, represented in the form of a table allowing in quite a simple and understandable form to record the various economic processes and patterns, it gives the opportunity to solve complex problems. So, at the same time, with the help of matrix it is possible to process large statistical material with a minimum amount of labor and time, a range of data that characterizes the structure and features of the social economic complex.
matrix
matrix method
matrix algebra
Economics
raw materials
production volume

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Матрица – это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов [4].

Впервые матрица появилась в Древнем Китае и носила название «волшебный квадрат». Чуть позже она стала известна и арабским математикам. В конце XVII века швейцарский ученый Габриэль Крамер разработал свою теорию, а в 1751 году опубликовал один из методов решения систем линейных уравнений «правило Крамера». Также в этот период был создан «метод Гаусса». Огромный вклад в развитие теории матриц в середине XIX внесли такие известные ученые как Уильям Гамильтон и Артур Кэли. Наряду с ними развивали данную теорию немецкие математики Карл Вейерштрасс и Фердинанд Георг Фробениус, а также, французский математик Мари Энмон Камиль Жордан. В 1850 году Джеймс Сильвестр ввел современное понятие матрицы.

Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй [6]. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты [1].

Матрица представляет собой упорядоченную систему информации, представленную в виде таблицы. Матрицей можно представить и систему информации о нормах материальных затрат для планирования снабжения предприятия [3]. Если предприятие производит n типов продукции, используя при этом m видов сырья, то матрица gelic01.wmf размера gelic02.wmf определяет нормы материальных затрат. Так, gelic03.wmf gelic04.wmf – норма расхода i-го вида сырья на производство единицы j-го типа продукции [7].

Рассмотрим один из примеров использования матриц в экономике.

Пусть предприятие выпускает продукцию трёх видов P1, P2, P3 используя при этом три типа сырья S1, S2, S3. Нормы расхода сырья на единицу и расход сырья на один день представлены в таблице.

Требуется:

а) соcтавить экономико-математическую модель ежедневного выпуска продукции каждого из трёх видов P1, P2, P3, предполагая полное использование сырья;

б) найти ежедневный объём выпуска каждого вида изделий (систему решить матричным методом).

Тип сырья

Расход сырья

на 1 день, усл.ед.

Нормы расхода сырья на единицу продукции, усл. ед.

   

P1

P2

P3

S1

8900

7

4

2

S2

4550

2

3

2

S3

2350

0

1

5

Обозначим через x1, x2, x3 ежедневный объём выпуска изделий вида P1, P2, P3 соответственно.

Составим математическую модель задачи.

gelic06.wmf (1)

gelic07.wmf (2)

Система линейный уравнений (1) с ограничениями (2) представляет собой экономико-математическую модель ежедневного выпуска продукции вида P1, P2, P3 [5].

Решив систему (1), найдем ежедневный объем выпуска продукции каждого вида в предположении полного использования сырья.

Перепишем систему (1) в матричном виде.

Матрица системы (1):

gelic08.wmf

Матрица-столбец неизвестных:

gelic09.wmf

Матрица-столбец свободных членов:

gelic10.wmf

Тогда система (1) в матричном виде: gelic11.wmf.

Матрицу Х можно выразить, если умножить обе части этого уравнения слева на матрицу, обратную матрице А:

gelic12.wmf gelic13.wmf

Это уравнение можно решить, если определитель матрицы А не равен нулю [2]:

gelic14.wmf

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

gelic15.wmf

где Aij – алгебраические дополнения [8].

Транспонированная матрица имеет вид:

gelic16.wmf

Найдем алгебраические дополнения.

gelic17.wmf gelic18.wmf

gelic19.wmf gelic20.wmf

gelic21.wmf gelic22.wmf

gelic23.wmf gelic24.wmf

gelic25.wmf gelic26.wmf

gelic27.wmf gelic28.wmf

gelic29.wmf gelic30.wmf gelic31.wmf gelic32.wmf

gelic33.wmf gelic34.wmf

Обратная матрица равна:

gelic35.wmf

Так как, gelic36.wmf значения неизвестных равны:

gelic37.wmf

gelic38.wmf

Таким образом, x1 = 700, x2 = 850, x3 = 300, т.е. ежедневный объем выпуска продукции вида P1 составляет 700 ед., продукции вида P2 составляет 850 ед., продукции вида P3 – 300 ед.

Из изложенного выше следует, что матрицы имеют ряд достоинств: позволяют в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и закономерности, дают возможность решать сложные задачи. Также с помощью матриц можно с минимальным количеством затрат труда и времени обработать большой статистический материал, различные данные, которые характеризуют структуру и особенности социально-экономического комплекса.