Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

REPRESENTATION OF ELECTRIC CHAIN PARAMETERS WITH INTEGRATED FUNCTIONS OF ACTIVE VARIABLES

Bosov V.A. 1 Petrenko D.S. 1
1 Stavropol State Agrarian University
2469 KB
This article is devoted to the study of complex numbers and mathematical operations on them, and the use of HT in electrical engineering to calculate complex electric circuits using KCH. The first who discovered complex numbers (KCH), was an Italian scientist, mathematician and engineer, Cardano in one of his works. In the first part of the article, definition of Complex number, forms of representation, the role of KCH in the calculation of electric circuits. Further outlines which operations must be performed by a student from KCH and the role of AC in electrical engineering. Illustrative examples of the General form of the equations of alternating voltage and current. Describes the properties of variables of sinusoidal quantities, possible mathematical operations on them, three possible forms of representation of a complex number, as well as the conditions under which a transition from the sine value to a complex number. In the article there is an example representation of sinusoidal current and voltage as HT in all three forms: algebraic, exponential and trigonometric. The aim of this work is the analysis and acquisition of the theme «the Use of complex numbers in electrical engineering», as well as their practical application in the calculation of complex electrical circuits, their properties and possible operations on them.
complex numbers (CN)
electrical engineering
electrical circuits

Первое упоминание о так называемых «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел появилось ещё в XVI в. В 1545 г. итальянским учёным Д. Кардано (1501-1576) была проделана работа, в которой, пробуя решить уравнение bos01.wmf, он получил bos02.wmf. Через данное выражение представились действительные корни уравнения: bos03.wmf,
bos04.wmf. Заслуга Джироламо Кардано заключалась в предположении существования «несуществующего числа» bos05.wmf, вследствие чего он ввёл правило умножения: bos06.wmf [4].

Комплексные числа (КЧ) – это курс математики, наиболее удобный и подходящий для подготовки профессионального направления бакалавра по таким направлениям как: Информатика и вычислительная техника. Так же при изучение комплексных чисел важно учесть применение знаний математики в специальных, общетехнических дисциплинах, в частности в электротехнике [5]. Использование комплексных чисел даёт возможность применять формулы, законы и методы расчётов, применяющиеся в цепях переменного и постоянного токов, упростить некоторые вычисления, путём замены графического решения алгебраическим и рассчитать сложные электрические цепи, а так же упростить решения по расчётам цепей переменного и электрического токов [11, 13].

Для того, чтобы студент мог проводить математические операции с КЧ, он должен уметь: 1) находить модуль а аргумент комплексного числа и, наоборот, комплексное число по его аргументу и модулю; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить умножение и деление, сложение и вычитание комплексных чисел [10].

Кроме этого, довольно важную роль занимает умение построения кривой и вектора по уравнению синусоиды, вектора по КЧ, определения КЧ по уравнению и вектору и уравнения по комплексному числу [6].

В теме «Переменный ток» занимает очень важное место в электротехнике, так как большая часть электротехнических установок работает на переменном токе, который в свою очередьизменяется по синусоидальному закону.

bos27.wmf

– уравнение переменного напряжения, где u – мгновенное значение напряжения; UM – макс. значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; φ – начальный фазовый угол; wt = α – электрический угол. Данное уравнение объединяет (связывает) две переменные величины: напряжение u и время t. Напряжение изменяется синусоидально с течением времени [1].

Подобный вид имеют уравнения тока и Э.Д.С.:

bos07.wmf;

bos08.wmf.

Для того чтобы произвести расчёт цепей переменного тока используют синусоидально изменяющимися параметрами, т.е. выполнять сложение, вычитание, умножение и деление, приведённого выше типа уравнений .

Складывать синусоидальные величины довольно сложно, особенно при сложении большого числа уравнений [9, 12].

Переменная синусоидальная величина имеет следующие свойства:

1. Переменную синусоидальную величину можно представить определённо вектором. Длина этого вектора будет равна величине амплитуды, а угол наклона – начальномуфазовому углу соответственно.

2. Сложение и вычитание данных величин дозволено заменить сложением и вычитаем векторов.

Помимо сложения и вычитания синусоидальных величин требуется умножать и делить. Именно здесь нам помогают комплексные числа.

На плоскости комплексное число принято изображать в виде вектора, длина которого будет равна модулю данного числа, а угол наклона – его аргументу. В сравнении с математикой в электротехнике мнимое число принято обозначать буквой j. Если дано некоторое КЧ bos09.wmf, то его можно представить в виде вектора, где его модуль будет равен bos10.wmf, а его аргумент соответственно – bos11.wmf [2, 14].

Комплексное число обладает тремя формами: bos12.wmf – алгебраической; bos13.wmf – показательной; bos14.wmf – тригонометрической.

Комплексное число определённо представлено вектором, а определённому вектору соответствует определённое комплексное число [8].

Стало быть, что переменную синусоидальную величину мы можем представить комплексным числом, если:

а) переменную синусоидальную величину возможно представить вектором;

б) данному вектору соответствует конкретное комплексное число.

Комплексными числами можно выражать следующие величины: ток, напряжение, мощность, проводимость и сопротивление [3].

Напряжение и ток

Дано уравнение напряжения – bos15.wmf. В электротехнике принято брать за длину вектора действующее значение, а не максимальное. Она находится (вычисляется) как частное максимального значения UM и bos16.wmf, и обозначается буквой U без индекса:

bos17.wmf;

Комплексом bos18.wmf – называется синусоидальная величина, которая выражена комплексным числом.

Комплекс напряжения, как и комплексное число можно записать в трёх формах:

а) bos19.wmf – алгебраической;

б) bos20.wmf – показательной;

в) bos21.wmf – тригонометрической.

Следовательно, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, реактивная – мнимой части, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения [7, 15].

Аналогичные формы для тока:

bos22.wmf;

bos23.wmf;

bos24.wmf;

bos25.wmf;

bos26.wmf.

Итак, комплексны числа (КЧ), как уже вначале говорилось, – это курс математики наиболее удобный для изучения такой дисциплины, как электротехника. Именно комплексные числа позволяют применять законы и формулы в цепях постоянного и переменного токов, упрощают различного вида вычисления и помогают рассчитывать сложные электрические цепи.