На VI и VII студенческих научных Форумах прошли публикации о свойствах квадратных матриц (автор Смольняков И.М. и соавтор настоящей статьи Часов К.В.), в которых были сформулированы основные свойства арифметических и геометрических прогрессий [1–4].
Целью нашего исследования стали различные числовые последовательности на применимость полученного в указанных работах свойства.
В указанных выше работах была исследована вырожденность матриц, заполненных членами арифметической или геометрической прогрессий. Естественно было бы предположить, что вырожденность свойственна большей группе матриц, элементы которых находятся в определённой зависимости, закономерности. Предположение было проверено на некоторых других прогрессирующих последовательностях: числа Фибоначчи, Леонардо, Люка и последовательностью Падована [5].
Отметим, что имеются последовательности с заданным аналитическим представлением, для которых полученное нами свойство не имеет место: последовательность чисел Ферма [5].
Очевидно, что есть последовательности, последовательные члены которых не попадают в категорию особенных прогрессирующих последовательностей. Но, необходимо заметить, что члены последовательности чисел Ферма не представляют собой прогрессию! Поэтому можно сделать вывод, что указанный факт про последовательность чисел Ферма не имеет отношения к нашему вопросу [5].
Нами было рассмотрено значительное количество прогрессирующих последовательностей. По результатам исследования можно сделать вывод, подтверждающий результаты Смольнякова И.М.:
1) существует довольно много прогрессирующих последовательностей, элементы которых находятся в некоторой зависимости (закономерности), из последовательных членов которых можно составить квадратные матрицы различных порядков, являющиеся вырожденными;
2) для получаемых матриц, начиная с 4-го порядка, замена любой строки (столбца) совершенно произвольными числами (не только элементами прогрессирующих последовательностей) не влияет на вырожденность матриц, выражая собой помехоустойчивость групп членов прогрессирующих последовательностей различной длины, с условием, что длина есть квадрат натурального числа.
Полученные выводы имеют непосредственное отношение и к математике – результат практически никому не известен, и к криптографии, т.к. с помощью квадратных матриц с членами, состоящими из членов прогрессирующих последовательностей, можно передавать закодированные сообщения.