На сегодняшний день одной из актуальных проблем в преподавании школьной математики является развитие учащихся в процессе обучения предмету. Практика школьного обучения требует от современного учителя математики проводить конкретную работу в этом направлении. В педагогике, методике ведутся поиски таких дидактических средств, которые могли бы превратить обучение в своего рода развивающий процесс с гарантированным результатом. С нашей точки зрения, одним из таких эффективных средств является авторская педагогическая технология В.М. Монахова.
В соответствии с педагогической технологией В.М. Монахова [1] и технологией проектирования математического развития учащихся [2, 3] нами разработаны комплекс технологических карт и специальных программ развития по курсу «Алгебра и начала математического анализа» (под редакцией А.Г. Мордковича) для учащихся 10 класса. В данной работе приведем пример одной из технологических карт по теме «Производная» (табл. 1). А также продемонстрируем реализацию специальных программ развития, разработанных нами для указанной темы. В логическую структуру учебного процесса мы «встроили» следующие программы развития: алгоритмическое мышление, функционально – графическое мышление, память. Приведем их краткий обзор.
Специальная программа развития «Мышление» (№1) на уроках алгебры в 10 классе при изучении темы «Производная»
Одной из основных задач изучения темы «Производная» является развитие алгоритмического мышления.
Алгоритмический стиль мышления – это система мыслительных действий, приёмов, которые направлены на решение как теоретических, так и практических задач, результатом чего являются алгоритмы как специфические продукты человеческой действительности.
Цель данной программы развития показать планирование систематической работы учителя по развитию алгоритмического мышления.
Тема «Производная» (уроки №2-№4, №10-№15, №19-№22)
Рассмотрим упражнения, способствующие развитию алгоритмического мышления.
I. Упражнения, связанные с применением соответствующего алгоритма для нахождения производной
Найдите скорость изменения функции 
в точке x0:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
II. Упражнения, связанные с применением соответствующего алгоритма для составления уравнения касательной к графику функции 
Составьте уравнение касательной к графику функции 
в точке x=a если:
a) 
;
б) 
в) 
;
г) 
.
III. Упражнения, связанные с применением соответствующего алгоритма для исследования функции на монотонность и экстремумы
1. Определите промежутки монотонности функции:
а) 
б) 
.
2. Найти точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) 
б) 
.
IV. Упражнения, связанные с применением соответствующего алгоритма нахождения наименьшего и наибольшего значений
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:
а) 
;
б) 
Специальная программа развития «Мышление» (№2) на уроках алгебры в 10 классе при изучении темы «Производная»
Функционально-графическое мышление – это способность человека представлять окружающие объекты и явления в виде зависимости (функции), полученную зависимость представлять и исследовать в виде графического образа.
Цель данной программы развития показать планирование систематической работы учителя по развитию функционально-графического мышления.
Тема «Производная» (уроки №16 – №18)
Рассмотрим упражнения, способствующие развитию алгоритмического мышления.
Упражнения, связанные с умением строить и исследовать графики производной
1. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а) Функция имеет разрыв в точке x = –2, максимум в точке х = –1 и минимум в точке х=1;
б) функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при 
, одну точку максимума и одну точку минимума.
2. Постройте график производной функции:
а) 
б) 
.
Специальная программа развития «Память» на уроках алгебры в 10 классе при изучении темы «Производная»
Память – это общее обозначение для комплекса познавательных способностей и высших психических функций по накоплению, сохранению и воспроизведению знаний и навыков.
Цель данной программы развития показать планирование систематической работы учителя по развитию памяти.
Тема «Производная» (уроки №5–№9)
Упражнения, связанные с применением формул и правил дифференцирования, способствующие развитию свойств памяти – припоминать, воспроизводить и узнавать
Найдите производную функции:
а) 
б) 
;
в) 
;
г) 
.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА (авторская педагогическая технология В.М. Монахова)
Предмет, Алгебра Ф.И.О.
класс 10 класс учителя Н.Ю. Алейникова
ТЕМА: «Производная»
|
Логическая структура учебного процесса |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
В 1 |
Н/М |
Р/З |
Д 1 |
В 2 |
Р/З |
Н/М |
Р/З |
Д 2 |
В 3 |
Р/З |
Д 3 |
В 4 |
Р/З |
Д 4 |
В 5 |
Р/З |
Д 5 |
В 6 |
Р/З |
Р/З |
Д 6 |
|||
|
мышление мышление мышление память мышление |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||||||||||||||
|
Целеполагание |
Дата |
Диагностика |
Дата |
Коррекция |
||||||||||||||||||||
|
В 1.1. Знать определение производной. В 1.2 Знать алгоритм нахождения производной и уметь применять его на практике. |
Д 1. 1. Найдите скорость изменения функции в произвольной точке x: а) б) в) г) 2. Найдите скорость изменения функции а) б) в) г) 3. Закон движения точки по прямой задается формулой а) t=1 c.; б) t=2 c.; в) t=3 c.; г) t=1,5 c. 4. Закон движения точки по прямой задается формулой а) б) |
К 1. – вычислительные ошибки; – путают константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель. В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Для устранения ошибки необходимо решить несколько одно- двухсоставных примеров. |
||||||||||||||||||||||
;
;
;
.
в точке x0:
;
;
;
.
. Найти скорость.
, где t – время, s(t) – отклонение точки в момент времени от начального положения с момента 
до момента t2, если:
;
.Продолжение табл.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
В 2.1. Знать формулы и правила дифференцирования. Уметь применять их на практике. В 2. 2. Уметь дифференцировать функцию |
Д 2. 1. Найти производную: а) б) 2. Найти производную: а) б) 3. Вычислите скорость изменения функции в точке а) б) в) г) 4. При каких значениях x параметра a касательные к графику |
К 2. Затруднения в нахождении производных тригонометрических функций. Следует запомнить и не путать:
При дифференцировании сложной функции, учащиеся машинально переносят правила дифференцирования простых функций на сложные функции. |
||
|
В3. Знать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции |
Д 3. 1. Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе а) А(0;1); б) Б(2;–3); в) 2. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции а) б) в) г) 3. Составьте уравнение касательной, проведенной графику функции а) б) в) г) 4. Составьте уравнения, тех касательных к графику функции
которые пересекаются под углом 120° в точке, лежащей на оси y. |
К 3. Возникают трудности в формулировках и неясностях задач. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению. Не указана явно абсцисса точки касания. Искомая касательная должна быть параллельна прямой. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: |
; в) 
;
; г) 
.
; в) 
;
; г) 
.
;
;
;
.
, проведенные в точках его пересечения с осью x, образуют между собой угол 60°?
; 
;
.
, в точке:
; г) Г (–1;0).
x=a:
;
;
;
.
в точке x=a
;
;
;
.
,Окончание табл.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
В 4. Знать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы. |
Д 4. 1. Может ли иметь только одну точку экстремума: а) четная функция; в) периодическая функция; б) нечетная функция; г) монотонная функция. 2. Определите промежутки монотонности функции: а) в) 3. Найти точки экстремума заданной функции и определите их характер: а) б) в) г) 4. При каких значения параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку: а) б) |
К 4. При исследовании функции на монотонность учащиеся очень часто не учитывают точек, в которых функция неопределенна. |
||
|
В 5. Уметь строить график производной. |
Д 5. 1. Исследуйте график производной
2. Постройте график производной функции: а) 3. Постройте график производной: а) 4. При каких значениях параметра а: а) уравнение б) уравнение |
К 5. При построения графика производной, ошибочно строят график функции. |
||
|
В 6. Знать алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений. Уметь решать задачи на нахождения наименьшего и наибольшего значений величин. |
Д 6. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) б) в) г) 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке: а) [2;4]; б) [–2;0]. 3. Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение. 4. На графике |
К 6. В процессе решения задач на экстремум при исследовании полученной функции на наибольшее (наименьшее) значение делают ошибочный вывод: «Функция на промежутке имеет один максимум, тогда максимальное значение и будет наибольшим». |
б) 
;
; г) 
.
;
;
.
б) 
.
б) 
.
имеет один корень?
имеет два корня?
;
;
найдите точку М, ближайшую к т. А(4,5;0).|
Дозирование самостоятельной деятельности учащихся (использован задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базового уровня) под редакцией А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа 10 – 11 классы») |
||
|
Стандарт (удовлетворительно) |
Хорошо |
Отлично |
|
Б 1. № 27.2; 27.6;27.12. Б 2. № 28.10; 28,18; 28.29. Б 3. № 29.3; 29.5; 29.7. Б 4. № 30.5; 30.8. Б 5. № 31.2; 31.7; 31.18; 30.22. Б 6. № 32.4; 32.7. |
Б 1. № 27.5; 27.8; 27.13. Б 2. № 28.17; 28,24; 28.35; 28.40. Б 3. № 29.8;29.13; 29.21. Б 4. № 30.9; 30.14; 30.29. Б 5. № 31.6; 31.9. Б 6. № 32.8; 32.12, 32.20. |
Б 1. № 27.9; 27.11; 27.14. Б 2. № 28.18; 28,27; 28.38; 28.45. Б 3. № 29.15; 29.20; 29.26. Б 4. № 30.10; 30.15;30.24; 30.31. Б 5. № 31.11; 31.15. Б 6. № 32.17; 32.29;32.39. |