В современных рыночных условиях функционирования экономики широкое применение получили различные математические методы моделирования. Объясняется это тем, что математические методы прочно утвердились в любой экономической науке, в силу того, что их использование способно открыть новые дополнительные возможности в экономической практике и теории. Любой современный экономист обязан разбираться в экономико-математических методах, так как именно знание математических моделей способствует лучшему пониманию причин возникновения различных экономических ситуаций, а также позволяет осознавать и сопоставлять возникающие закономерности и правильно прогнозировать последствия принимаемых экономических решений. Применение математических методов подразумевает использование линейных моделей математического программирования.
Линейное программирование – это сектор математики, который занимается разработкой теории и численных методов решения задач по определению экстремума линейной функции множества переменных при наличии определенных линейных ограничений, связывающие данные переменные. Актуальность и значимость линейного программирования заключается в его способности решить широкий круг вопросов и проблем экономики по поиску наилучшего решения данных проблем. В частности линейное программирование используется в таких сферах, как планирование товароснабжения города (района), планирование производства предприятия, планирование товарооборота, оптимальной нагрузки оборудования и так далее.
Задача линейного программирования заключается в нахождении максимума или минимума линейной функции
(1)
при существующих ограничениях
(2)
(2.1)
где 
– неизвестные переменные; 
– заданные постоянные величины.
Равноценная запись данной задачи с помощью знака суммирования имеет вид:
. (3)
Функцию F в данном случае называют целевой функцией, либо линейной формой или критерием оптимальности. Система ограничений (2) определяется как функциональные ограничения задачи линейного программирования, а ограничения (2.1) являются прямыми.
При условии того, что в математической модели задачи линейного программирования (1) и (2.1) ограничения (2) заданы только в форме равенств, то итоговая задача будет называться канонической задачей линейного программирования. Если же данные ограничения заданы только в форме неравенств, то она определяется как стандартная (симметричная) задача линейного программирования.
Объединение неизвестных значений
,
которые удовлетворяют системе ограничений (2) и (2.1), понимают как допустимое решение либо же, как план задачи линейного программирования, иначе говоря, ограничения (2) и (2.1) определяют область допустимых решений. Допустимое решение задачи называется оптимальным в случае, если оно обеспечивает максимальное или минимальное значение целевой функции F.
Необходимо также отметить, что всякую задачу линейного программирования можно свести к канонической форме. Это достигается за счет преображения любого неравенства вида «меньше или равно» в равенство путем добавления к его левой части вспомогательной неотрицательной переменной, однако неравенство вида «больше или равно» необходимо вычесть из его левой части вспомогательной неотрицательной переменной. Следует учитывать, что возможен случай, когда на какую-либо неизвестную xs не наложено условие неотрицательности, тогда ее можно заменить двумя неотрицательными величинами us и vs, приняв 
Рассмотрим конкретный пример создания экономика – математической модели задачи линейного программирования. Для этого необходимо пройти следующие этапы:
1. Обозначение всех переменных;
2. Составление целевой функции с учетом целей линейной задачи;
3. Составить систему ограничений, исходя из имеющихся показателей и их количественных закономерностей.
Необходимо помнить, что в ходе записи модели необходимо обязательно учитывать единицы измерения переменных, как целевой функции, так и задачи и всех ограничений.
Задача. Кондитерский комбинат освоил выпуск новых видов конфет: «Любимые» и «Пчелка». Ожидаемый спрос на данные продукты составляет не больше 15 и 12 т в месяц. Так как данный комбинат помимо прочего также выпускает традиционные виды продукции, каждый из 4 цехов способен выделить на производство новых видов конфет ограниченное количество времени. Выделяемые месячные ресурсы времени и затраты каждого цеха по осуществлению технологического процесса при выработке 1 т конфет каждого вида представлены в таблице. В ней также показаны оптовые цены конфет. Необходимо определить наиболее оптимальный объем выпуска каждого вида конфет, при котором будет получена максимальная прибыль комбината.
Построение математической модели. В приведенной задаче необходимо установить, сколько каждого вида конфет нужно производить в текущем месяце. Следовательно, искомыми переменными являются объемы выпуска каждого вида конфет. Отсюда x1 – объем выпуска конфет «Любимые», а x2 – объем выпуска конфет «Пчелка».
Исходные данные
|
Номер цеха |
Затраты времени на выработку 1 т, ч |
Временные ресурсы, ч |
|
|
«Любимые» |
«Пчелка» |
||
|
1 |
2 |
7 |
66 |
|
2 |
3 |
5 |
45 |
|
3 |
2 |
4 |
58 |
|
4 |
1 |
6 |
72 |
|
Оптовая цена, тыс. руб. / т |
156 |
168 |
|
Из условия задачи определяем цель, в нашем случае это достижение максимальной прибыли в ходе реализации производимого продукта. Для того чтобы рассчитать объем прибыли от продажи конфет, необходимо знать объемы производства, то есть x1 и x2 (т)конфет обоих видов, а также оптовые цены. Согласно приведенным в табл. 1 данным, прибыль от реализации конфет «Любимые» равна 156 x1 тыс. руб. в месяц, а от реализации конфет «Пчелка» – 168 x2 тыс. руб. в месяц. Благодаря данным значениям можем записать целевую функцию:
(тыс. руб./мес.)
Ограничения заключаются в следующем:
Объемы производства конфет не могут быть отрицательными;
Затраты временных ресурсов каждого цеха не могут быть больше месячного лимита времени по отдельно взятому цеху;
Согласно результату ожидаемого спроса объем изготовляемых конфет не должен превышать 15 тон для вида «Любимого» и 12 тон – для «Пчелки».
То есть все ограничения можно подразделить на три вида: временные затраты; неотрицательность объемов изготовляемой продукции; рыночный спрос на конфеты;
Запишем все ограничения в математическом виде:
Левая часть ограничений представляет собой время, затраченное каждым цехом на производство конфет в течение месяца в количестве x1 и x2 тонн. Правая же часть состоит из временных ресурсов (лимита времени) рабочего времени каждого цеха. Соответственно, ограничение по цехам имеет вид:
(ч/мес.);
(ч/мес.);
(ч/мес.);
(ч/мес.).
Неотрицательность объемов изготовляемой продукции определяется как:
Ограничения по объему производства конфет, исходя из рыночного спроса, имеют вид:
Обобщая вышеизложенное, математическая модель задачи линейного программирования будет иметь следующий вид:
,
Подводя итог, необходимо отметить особую роль линейного программирования в математических моделях, так как именно оно способствует наиболее эффективному принятию оптимального решения в серьезных экономических проблемах.