Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

1
1

Экономическая наука в значительной степени связана с количеством товаров или факторов производства и их ценами. Факторы производства и товары продаются и покупаются на рынках. Рассмотрим рынок какого-либо определенного товара или фактора производства и одно агрегирование, то есть объединение продавцов в одну группу и покупателей в другую. Данный вид агрегирования определяет проблемы оценки, а также суммирования произведений количеств на цены.

Паутинообразная модель представляет собой простую динамическую модель, которая характеризуется затуханием колебания, итогом которого является получение равновесия.

Допустим, рынок какого-либо определенного товара характеризуется данными функциями спроса и предложения:

prakt1.wmf prakt2.wmf

Для того чтобы поддерживать существование равновесия, цена должна быть такой, чтобы рассматриваемый товар на рынке был распродан, то есть prakt3.wmf

prakt4.wmf

Динамическая модель образуется при отставании предложения или спроса. Простейшая модель в дискретном анализе содержит отставание или неизменное запаздывание на один интервал:

Dt=D(Pt) и prakt8.wmf

Это может произойти в том случае, если для изготовления рассматриваемого товара необходим конкретный период времени, взятый за интервал. Действие модели таково, что при данном Pt–1 предыдущего периода величина предложения на рынке в текущем периоде будет prakt9.wmf, и объем Pt должен быть такой, чтобы был распродан весь объем предложенного товара. Таким образом, Pt и величина продаж и покупок Xt задается уравнением

prakt11.wmf

Таким образом, имея исходную цену P0, посредством заданных уравнений мы можем приобрести значения P1 и X1. Далее, используя существующую цену P1, из данных уравнений извлечем значения X2 и P2. В итоге изменение Pt определяется разностным уравнением 1-го порядка:

prakt12.wmf

Решение можно пояснить с помощью диаграммы, которая проиллюстрирована на рисунке, где D и S-кривые предложения и спроса, а положение равновесия совпадает с точкой их пересечения Q. В динамической модели D имеет то же значение, что и в статистической, но в данном случае ордината кривой S характеризует величину предложения в конкретный промежуток времени. Цена в первоначальный момент времени будет равна P0. Точка Q0 на кривой D с той же самой ординатой, что и Q0. Во 2-й промежуток времени движение осуществляется по вертикали к точке S на кривой от точки Q1, дающей X2, далее по горизонтали – на кривой D к точке Q2. Дальнейшее продолжение данного процесса формирует график паутины, рассмотренный на рисунке.

mat1.tif

График паутины

Объемы и цены в последующие промежутки времени выступают координатами точек prakt13.wmf на кривой спроса D. В данном случае последовательность ряда точек стремится к Q. Точки последовательно размещаются на левой и правой стороне от Q

Итак, характеристики цены Pt стремятся к prakt14.wmf располагаясь последовательно по обе стороны от prakt15.wmf. Точно так же дело обстоит и объемами продаж и покупок. Допустим, что D стремится вниз, а S – вверх. Соответственно, движение с затухающими колебаниями появляется в том случае, если кривая D в точке равновесия Q опускается к оси абсцисс OP. Когда углы наклона D и S равны, образуются регулярные колебания. Для случая линейных функций предложения и спроса, можно получить следующее алгебраическое решение:

prakt16.wmf prakt17.wmf

Значения равновесия prakt18.wmf и prakt19.wmf будут определяться уравнениями

prakt20.wmf,

то есть

prakt21.wmf, prakt22.wmf. (1)

Дискретная динамическая модель определяется уравнением

prakt23.wmf. (2)

Для начала найдем решение, дающее равновесие. Для этого положим prakt24.wmf и prakt25.wmf для всех значений t:

prakt26.wmf. (3)

Извлекаем те же значения prakt27.wmf и prakt28.wmf, что и в (1). Если в каком-либо периоде имелись цены и объемы, создающие условия равновесия, то в динамической модели (2) они сохранятся и будущих периодах. Статистическое равновесие соответствует этой модели. Вычтем уравнение (3) на (2) и положим prakt29.wmf prakt30.wmf. Тогда

prakt31.wmf. (4)

Уравнения (4) подобны (2), помимо того, что они характеризуют отклонения от уровней равновесия. Эти уравнения являются разностными уравнениями 1-го порядка. Положим prakt32.wmf и подставим его в уравнение (4), так что разностное уравнение относительно Pt будет

prakt33.wmf

При данном значении P0 в момент prakt34.wmf решение легко получается путем итерации:

prakt35.wmf

или prakt36.wmf

Объемы продаж и покупок в каждый период можно определить из уравнения (4). Чаще всего кривая спроса идет вниз prakt37.wmf, а кривая предложения напротив идет вверх prakt38.wmf, то есть prakt39.wmf В данном случае положим prakt40.wmf так что r будет положительно. Тогда

prakt41.wmf

и последовательные значения pt при t=0,1,2,3,…, будут соответственно prakt42.wmf prakt43.wmf prakt44.wmf prakt45.wmf так что pt принимает поочередно положительные и отрицательные значения. Таким образом, чередуются и знаки Pt которые поочередно будут располагаться выше и ниже prakt46.wmf.

Существуют 3 возможности:

prakt47.wmf угол наклона S (к OP) больше, ежели угол наклона D.

В данном случае r>1 и ряд последовательных значений pt является бесконечно возрастающим по абсолютной величине. Соответственно, prakt49.wmf и имеет место взрывное колебание.

2) prakt50.wmf углы наклона D и S равны. В рассматриваемом случае r=1, и ряд значений Pt будет состоять из чередования p0 и (–p0) Поэтому Pt будет последовательно больше и меньше P на одну и ту же величину, которая будет равна начальному расхождению prakt51.wmf то есть в данном случае имеет место регулярное колебание.

3) prakt52.wmf угол наклона D (к OP) больше, нежели S. В данном случае r<1, и поочередные Pt уменьшаются по абсолютной величине. Следовательно, prakt54.wmf последовательно справа и слева, то есть стремится к уровню равновесия с затухающими колебаниями.

В случае (3), чем больше будет – a по отношению к b, то есть чем более круче D по сравнению с S, тем быстрее будут затухать колебания и тем быстрее Pt будет стремиться к prakt55.wmf. Первоначальные возмущения также оказывают наибольшее влияние на амплитуду колебания. Чем дальше P0 от prakt56.wmf, тем больше будет размах колебаний и тем длительнее период времени, необходимый для их прекращения. Следует заметить, что случай (2) с длительными и наиболее правильными колебаниями очень редок, поэтому его можно понимать почти как тривиальным – на его базе не допускается построение никакой теории цикла. Наиболее интересным является случай (3), несмотря на возможное возражение, состоящее в том, что затухающие колебания «невозможны». Но есть наиболее простое развитие модели (3) с затухающими колебаниями, позволяющее представить движение Pt с длительными колебаниями во времени. Для этого вместо кривых предложения и спроса, которые неизменны во времени, возьмем кривые, изменяющиеся под воздействием внешних сил во времени циклично или регулярно, либо случайно и т.д. В таком случае еще до прекращения колебаний, описанных на рисунке, какой-либо сдвиг в кривой D или S приведет к возмущению, в этом случае колебания появятся снова. Например, Q0 могла быть в точке равновесия или вблизи нее до сдвига вверх кривой D к положению, который показан на рисунке. Тогда колебания будут появляться представленным ранее образом, продолжаясь, предположим, до точки Q3, в которых колебательное движение будет нарушено сдвигом вверх кривой S. В итоге, возникает колебательное движение с еще большей амплитудой, постепенно прекращающийся до возникновения какого-нибудь нового возмущения. Для линейной модели допустимо алгебраическое истолкование в случае параллельного перемещения кривых спроса и предложения. Уравнение (2) в таком случае будет иметь вид:

prakt57.wmf

где prakt58.wmf включают сдвиги в момент t=0,1,2,3,… Разностным уравнением относительно цены будет

prakt60.wmf (5)

Для того чтобы решить уравнения (5), нужно определить разность prakt61.wmf сдвигов во времени предложения и спроса. Рассмотренная паутинообразная модель чаще всего дает решение, в условиях которой цены в последующие промежутки времени попеременно принимают значения, располагающиеся ниже или выше точки равновесия. Это колебание завершается на протяжении 2-х интервалов, иными словами при наличии двойного запаздывания на стороне предложения. Скорость приспособления к изменившейся обстановке убывает пропорционально увеличению продолжительности запаздывания.

Таким образом, одним из подходов, который объясняет механизм образования рыночного равновесия, можно считать паутинообразную модель, относящаяся к числу динамических (учитывающих фактор времени). Паутинообразная модель описывает процесс формирования равновесия в условиях, когда воздействие участников сделок на изменяющиеся условия рынка растянута по времени.