Каждый студент в процессе обучения сталкивается с вопросом: ″А понадобится ли мне математический анализ в экономических приложениях в жизни?″ Ответ да. Ведь с помощью знаний в этой области можно рассчитать прибыль компании, найти количество единиц продукции, которые необходимо продать, найти точку рыночного равновесия, а также объём выпуска, при котором прибыль производителя будет максимальной.
Прибегая к математическому анализу в экономических приложениях, производитель может найти средние издержки на производство единицы продукции, среднее приращение издержек, а также предельные издержки. Приведём пример.
У нас есть следующая функция издержек производства: Y=50x – 0,05x3 (y.e.). Найти:
1) средние издержки на производство единицы продукции, если объём выпуска продукции х0 = 10;
2) среднее приращение издержек, если объём выпуска продукции увеличится до х = 15;
3) предельные издержки.
Решение.
1) Найдём средние издержки:
y(xo)/ xo = (50x–0,05x3) / x = (50 – 0,05·x2) x = 10 =
= 50 – 0,05·102 = 45 (у.е.).
2) Найдём среднее приращение издержек:
y(10) = (50x – 0,05x3) x = 10 = 50·10 – 0,05·103= 450 ;
y(15) = (50x – 0,05x3) x = 10 = 50·15 – 0,05·153=581,25;
3) Найдём предельные издержки:
y`= (50x – 0,05x3)` = 50 – 0,15x2 =>
y`(10) = 35 (y.e.);
y`(15) = 16,25 (y.e.).
Сравнивая результаты, делаем вывод, что чем больше объём дополнительной продукции производства, тем меньше требуется дополнительных затрат.
Данная задача по теме математический анализ в экономических приложениях наиболее заинтересовала нас, поэтому мы представили Вашему вниманию алгоритм её решения.
Для решения подобных задач используются основные теории дифференциального исчисления для экономических объектов. Перечислим их.
Теорема №1. Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.
Теорема №2. Оптимальный для производителя уровень экономического производства определяется равенством средних и предельных издержек.
Теорема №3. (Закон доходности): С увеличением производства объёма дополнительной продукции, полученной на каждую новую единицу ресурса, с некоторого момента уменьшается.
Теорема №4. (Закон полезности): С увеличением производства товара дополнительная полезность от каждой его новой единицы с некоторого момента уменьшается.