Согласно проведенным исследованиям в настоящее время очень актуальным является изучение взаимодействия α-частиц и нуклонов с ядром 
для разнообразных приложений, в частности для проблемы управляемого термоядерного синтеза и в атомной технике. В работе описано исследование мультикластерной (2α+n)-модели ядра 
с вычислением его статистических характеристик.
Трехчастичная (2α+n)-модель ядра 
Для описания ядра 
используется трехчастичная модель 2α+n (см.рис.1) с тремя парными αn и αα – взаимодействиями, включающими состояния, запрещенные принципом Паули.
Волновая функция ядра 
Базисная волновая функция относительно координат Якоби (см.рис.1) [1]:
(1)
где 
, 
– коэффициенты Клебша-Гордана;
– сферические функции относительных координат;
– спиновая функция системы;
λ, l – относительные орбитальные моменты ( в координатах Якоби);
– радиальная часть волновой функции ( Гауссоида).
(2)
Формула (2) выражает угловую часть волновой функции (1).
Волновая функция допускает чисто алгебраическую пересвязку к другому набору координат Якоби. В частности, преобразование радиально-угловой части базисной волновой функции (1) от набора 1 к набору 2 (см.рис.1) имеет вид:
(3)
где алгебраический коэффициент
определяется по формуле:
Рис.1. Выбор наборов внутренних координат Якоби.
Статистические характеристики
В данном параграфе мы покажем выводы статических характеристик основного состояния для ядра 9Be в трехтельной модели, для чего сначала выразим все операторы, записанные в одночастичных координатах, через относительные координаты, – координаты Якоби.
Среднеквадратичный зарядовый радиус
Среднеквадратичный зарядовый радиус 
определяется следующим выражением [2]:
(4)
Здесь Ze- заряд ядра. Одночастичная зарядовая плотность 
имеет следующий вид:
Для вычисления 
в 
– модели нужно перейти от одночастичных координат 
к новым:
(5)
где 
для 
и 
для 
. 
координаты центра масс частицы относительно всего ядра, 
– координаты k-го нуклона частицы относительно ее центра масс. Координаты центра масс частиц выражаются через координаты:
После несложных вычислений для 
получим
(6)
где матричные элементы для и могут быть легко найдены:
Здесь использованы следующие обозначения для радиальных интегралов:
Магнитный момент
Оператор магнитного момента 
системы состоящей из трех частиц, имеет вид [2]:
,
где 
– ядерный магнетон Бора, 
– оператор внутреннего магнитного момента 
-й частицы, 
– оператор орбитального момента 
-й частицы массой 
- масса нуклона. Перейдем от моментов 
к моментам 
и 
:
(7)
Перепишем выражение (7) для 
в другом виде, для простоты опустим знак оператора 
:
Магнитным моментом ядра 
называется величина :
.
При расчете магнитного момента воспользуемся следующей формулой:
,
а также 
.
Учтя это, мы получим 
, где
(8)
Член 
можно представить через веса 
компонент 
:
,
где 
– число учитываемых конфигураций. А второй член выражении для магнитного момента равен:
×
×
Квадрупольный момент
Квадрупольный момент ядра 
определяется следующем выражением[2]:
, (9)
где 
– пространственная сферическая гармоника. Снова переходя от одночастичных координат 
к новым, согласно соотношению 
и используя следующую формулу (10):
,
получаем:
(11)
В формуле (11) для приведенного матричного элемента использованы стандартные обозначения.
Октупольный момент
Октупольный момент ядра 
называется величина [2]:
(12)
где 
оператор октупольного момента – состоит из двух частей:
Спиновая часть оператора октупольного момента
Здесь 
– пространственная сферическая гармоника, ядерный магнетон Бора. Спиновое гиромагнитное соотношение равно:
Орбитальная часть оператора октупольного момента:
Матричный элемент от спиновой части равен:
Орбитальную часть матричного элемента от оператора преобразуем к виду
Волновая функция (1) допускает чисто алгебраическую пересвязку к другому набору координат Якоби, что мы и используем при расчете матричного элемента от орбитальной части оператора октупольного момента. При преобразовании функции от набора координат 1 к набору 2 (см.рис.1), где двумерная гауссоида преобразуется:
Аналогичным образом преобразуется гауссоида
.
Для того чтобы исключить перекрестный член 
в экспоненте, совершаем еще одно преобразование координат Якоби. В результате этого преобразования получаем:
Учитывая формулы для матричного элемента от орбитальной части оператора, получаем:
,
где радиальные интегралы 
и 
равны:
.