Покажем алгоритм построения Гауссовой диаграммы для общей кривой и свойства оснащённых Гауссовых диаграмм общих кривых.
Общим погружением окружностиS1в плоскость Е2 будем называть гладкое погружение общего положения S1 →Е2 (где Е2 - Евклидова плоскость).
Общей кривой будем называть образ погружения общего положения окружности S1 в плоскость Е2.
Двойной точкой кривой на плоскости будем называть точку кривой, прообраз которой состоит ровно из двух точек.
Для общей кривой можно построить так называемую Гауссову диаграмму кривой.
Пусть f :S1®E2 - общее погружение, g = f (S1) – общая кривая на плоскости. Пусть A1, A2,…, An – двойные точки кривой g (nÎN – число двойных точек кривой g).
Построим Гауссову диаграмму ориентированной кривой g = f (S1)по следующему алгоритму:
1) На окружности отметим точку.
2) На окружности отметим прообраз двойной точки :f-1(Ai) = { Ai1, Ai2},(i = 1,…, n),
где Ai1 - это первый проход через двойную точку, а Ai2 – второй проход через двойную точку (Рис. 1a).
3) Точки Ai1иAi2 соединим хордой (Рис. 1 б).
4) Зададим ориентацию каждой хорды по следующему правилу:
ПустьDi – окрестность точки Ai, не содержащая других двойных точек кривой g. Прообраз окрестности
Di– два открытых интервала на окружности:
f -1(Di) = {u i1, ui2},приэтомAi1Îu i1,A i2Î ui2. Отметим касательные векторы tj (j = 1,2) в точке Ai к кривой :tj – касательный вектор к ветке f (uij). Если ориентация пары векторов (t1, t2) совпадает с ориентацией плоскости, то точке Ai2 припишем знак (-1), точке Ai1– знак (+1), в противном случае, наоборот, точке Ai2 припишем знак (+1), точке Ai1– знак (-1). Ориентируем хорду [Ai1Ai2] от точки со знаком (-1) к точке со знаком (+1) (Рис. 1 в).
Гауссова диаграмма плоской кривой с n двойными точками – это ориентированная окружность с n ориентированными хордами (началу каждой ориентированной хорды приписан знак (-1), концу – (+1)).
|
![]()
![]() ![]() ![]() |
|
||||
(a) двойная точка ti |
(б) хорда [A i1 A i2 ]на окружности соединяет прообразы точки ti |
(в) знаки точек Ai1 иAi2 и ориентация хорды [Ai1Ai2] |
Рисунок 1. Построение Гауссовой диаграммы.
Отмеченная Гауссова диаграмма кривой отличается от Гауссовой диаграммы кривой, тем, что на кривой и на диаграмме отмечена некоторая базовая точка. Хорды на окружности приобретают знак +1 или -1. Знак хорды определяется по следующему правилу. Если Ai1 приписан знак (+1), то хорде на Гауссовой диаграмме
[Ai1Ai2] также приписывается знак +1. Если же Ai1 приписан знак (-1), то хорде также приписывается знак -1.
Пример. На Рис. 2 изображена плоская кривая и ее Гауссова диаграмма и ее отмеченная Гауссова диаграмма.
Рисунок2. Кривая и её Гауссова диаграмма.
Кривые на Рис. 3 имеют одинаковое количество двойных точек, но различные отмеченные Гауссовы диаграммы:
Рисунок 4. Кривая g.
Кривая g задает стратификацию плоскости: (см. Рис.5)
1) Нульмерные страты – двойные точкикривой g(Рис. 5 а).
2) Одномерные страты – компоненты связности кривой g без двойных точек (Рис. 5 б).
3) Двумерные страты - компоненты связности (E2\ g), т.е. плоскость E2 без кривой g.
(Рис. 5 в).
Рисунок. 5 Стратификация плоскости.
Рассмотрим алгоритм приписывания индексов стратов стратификации ориентированной общей кривой g (Рис. 6):
1. Пронумеруем двумерные страты, обозначив внешний двумерный страт как s0.
2. Припишем страту s0 индекс равный нулю (inds0=0).
3. Определим индексы остальных двумерных стратов по следующему правилу. Пусть точкаYi ϵ sI , точкаY0 ϵ s0, и пусть t – ориентированный путь. Соединим эти точки трансверсально, пересекая кривую g и
не проходя через её двойные точки.
4. Точке пересечения пути tи кривой g припишем знак±1.
Если ориентация пары касательных векторов кривой gкtсовпадает с ориентацией плоскости то припишем +1, в противном случае припишем -1.
5.
Определим
indsiкак сумму знаков ±1 таких точек пересечения.
![](/i/2015/6/335/image034.jpg)
Рисунок 6. Алгоритм приписывания индексов стратов
Для того, чтобы вычислить индекс точки самопересечения кривой g, нужно знать индексы всех двумерных стратов стратификации кривой.
Индекс двойной точки Ai общей кривой g - это среднее арифметическое всех четырёх двумерных стратов в окрестности этой точки.
Также индекс двойной точки можно вычислить как среднее арифметическое двух несмежных двумерных стратов в окрестности этой точки.
Пусть Ai - двойная точка общей кривой g, indAi= s, и пусть [A1A2] – хорда на Гауссовой диаграмме кривой g, соответствующая точке Ai. Тогда хорде [A1A2] припишем индекс s.
Оснащённой Гауссовой диаграммой плоской кривой называется Гауссова диаграмма с отмеченными на её хордах индексами.
Теорема 1:Пусть G – оснащённая Гауссова диаграмма некоторой кривой на плоскости, тогда модуль индекса всякой хорды диаграммы G, не превышает самого количества хорд на G.
max|indc|£n ,
где с – хордаG, n – количество хорд G.
Теорема2(о максимальных кривых):
Для всякого натурального числа n, существует кривая, на оснащённой Гауссовой диаграмме G которой:
1) max|indc|= n, где гдес – хорда G, n – количество хорд G.
2) " 1 £i£ n хорда c ϵ G:
|indс| = i
(т.е. существуют индексы хорд на диаграмме G, которые по модулю растут постоянно на единицу, начиная с индекса равного по модулю единице).
Лемма3: Для всякой кривой g, существует двойная точка, индекс которой равен нулю или по модулю равен единице, т.е. обязательно на кривой имеются точки, индексы которых равны:
– либо 0,
– либо 1,
– либо -1.
Будем называть отрезком – непрерывный набор целых чисел, лежащий в определённых пределах.
Теорема 4: (о реализуемости отрезка индексов хорд длины m, кривой с m двойными точками):
Если у кривой m двойных точек, то индексы на хордах оснащённой Гауссовой диаграммы принимают значения принадлежащие отрезку [-m, m]. Если из этого набора индексов выбрать произвольно отрезок длины m, то кривая с таким набором индексов будет реализуема.
Теорема 5:Пусть отрезок I длины kиk<m, тогда существует кривая с m двойными точками набор индексов которой совпадает с I, лежит в отрезке
[-m, m], если среди индексов есть хотя бы один из индексов 0, -1, +1.
Пусть есть кривая g с mдвойными точками. Индексы двойных точек этой кривой образуют набор I из m чисел, в котором:
1) Минимальное число xmin³ -m
2) Максимальное число xmax£m
3) В I содержится 0,
4) В I содержатся все числа из набора [xmin, xmax]
Теорема6:Пусть есть набор I из m чисел, удовлетворяющих пунктам 1-4, тогда существует кривая gс m двойными точками и набором индексов I.
Лемма7:Пусть Г – кривая, d - одномерный страт кривой Г (дуга),
А1, А2 – нульмерные страты кривой Г смежные с d. Тогда либо:
1) ind А1= ind А2
2) ind А1 =ind А2 ±1 (Рис. 7)
Рисунок7. Индекс нульмерного страта.
Теорема8:ПустьG – оснащённая Гауссова диаграмма некоторой кривой, если существуют хорды на диаграмме G с индексами m-1 и m+1,
то существует и хорда с индексом m, где mϵZ.
Пример:
Индексы областей |
Индексы точек |
inds0 = 0 |
ind A = |
inds1 = 1 |
ind B = |
inds2 = 2 |
ind C = |
inds3 = 3 |
|
inds4 = -1 |
|
Рисунок8. Пример вычисления индексов.