Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

Рассмотрим  общие кривые и их оснащённые Гауссовы диаграммы. Кривые рассматриваются на плоскости. Сформулируем  теоремы,  которые позволяют ответить нам на вопрос о реализации кривой с данным набором индексов стратов стратификации кривой.

Покажем алгоритм построения Гауссовой диаграммы для общей кривой и свойства оснащённых Гауссовых диаграмм общих кривых.

Общим погружением окружностиS1в плоскость Е2 будем называть гладкое погружение общего положения  S1 →Е2 (где Е2  - Евклидова плоскость).

Общей кривой будем называть образ погружения общего положения окружности S1 в плоскость Е2.

Двойной точкой кривой на плоскости будем называть точку кривой, прообраз которой состоит ровно из двух точек.

Для  общей кривой можно построить так называемую Гауссову диаграмму кривой.

Пусть f :S1®E2 - общее погружение, g = f (S1) – общая кривая на плоскости. Пусть A1, A2,…, An – двойные точки кривой g (nÎN – число двойных точек кривой g).

Построим Гауссову диаграмму ориентированной кривой g = f (S1)по следующему алгоритму:

1) На окружности отметим точку.

2) На окружности отметим прообраз двойной точки :f-1(Ai) = { Ai1, Ai2},(i = 1,…, n),

где Ai1 - это первый проход через двойную точку, а Ai2 – второй проход через  двойную точку (Рис. 1a).

3) Точки Ai1иAi2 соединим хордой (Рис. 1 б).

4) Зададим ориентацию каждой хорды по следующему правилу:

ПустьDi – окрестность точки Ai, не содержащая других двойных точек кривой g. Прообраз окрестности

Di– два открытых интервала на окружности:

f -1(Di) = {u i1, ui2},приэтомAi1Îu i1,A i2Î ui2.  Отметим касательные векторы      tj (j = 1,2) в точке Ai к кривой :tj – касательный вектор к ветке f (uij). Если ориентация пары векторов (t1, t2) совпадает с ориентацией плоскости, то точке Ai2  припишем знак (-1), точке Ai1– знак (+1), в противном случае, наоборот, точке Ai2  припишем знак (+1), точке Ai1– знак (-1). Ориентируем хорду [Ai1Ai2] от точки со знаком (-1) к точке со знаком (+1) (Рис. 1 в).

Гауссова диаграмма плоской кривой с n двойными точками – это ориентированная окружность с n ориентированными хордами (началу каждой ориентированной хорды приписан знак (-1), концу – (+1)).

	Ai1   Ai2
(a) двойная точка ti	(б) хорда [A i1 A i2 ]на окружности соединяет прообразы точки ti	(в) знаки точек Ai1 иAi2 и ориентация хорды  [Ai1Ai2]

Рисунок 1. Построение Гауссовой диаграммы.

Отмеченная Гауссова диаграмма кривой  отличается от Гауссовой диаграммы кривой, тем, что на кривой и на диаграмме отмечена некоторая базовая точка. Хорды на окружности приобретают знак +1 или -1.  Знак хорды определяется по следующему правилу.  Если  Ai1 приписан знак (+1), то хорде на Гауссовой диаграмме

[Ai1Ai2] также приписывается знак  +1. Если же Ai1 приписан знак (-1), то хорде также приписывается знак  -1.

 Пример. На Рис. 2 изображена плоская кривая и ее Гауссова диаграмма и ее отмеченная Гауссова диаграмма.

Рисунок2. Кривая и её Гауссова диаграмма.

Кривые на Рис. 3 имеют одинаковое количество двойных точек, но различные отмеченные Гауссовы диаграммы:

Рисунок 4.  Кривая g.

   Кривая g  задает стратификацию плоскости: (см. Рис.5)

1)      Нульмерные страты – двойные точкикривой g(Рис. 5 а).

2)      Одномерные страты – компоненты связности кривой g  без двойных точек  (Рис. 5 б).

3)      Двумерные страты - компоненты связности (E2\ g), т.е. плоскость E2 без кривой g.

(Рис. 5 в).

Рисунок. 5 Стратификация плоскости.

Рассмотрим алгоритм приписывания индексов  стратов стратификации ориентированной общей кривой g (Рис. 6):

1.      Пронумеруем двумерные страты, обозначив внешний двумерный страт как s0.

2.      Припишем страту s0 индекс равный нулю (inds0=0).

3.      Определим индексы остальных двумерных стратов по следующему правилу. Пусть точкаYi ϵ sI , точкаY0  ϵ s0, и пусть t – ориентированный путь. Соединим эти точки трансверсально, пересекая кривую g  и

не проходя через её двойные точки.

4.      Точке пересечения пути tи кривой g припишем знак±1.

Если ориентация пары касательных векторов кривой gкtсовпадает с ориентацией плоскости то припишем +1, в противном случае припишем -1.

5.       Определим indsiкак сумму знаков ±1 таких точек пересечения.

 

Рисунок 6. Алгоритм приписывания индексов  стратов

 Для того, чтобы вычислить индекс точки самопересечения кривой g, нужно знать индексы всех двумерных стратов стратификации кривой.

Индекс двойной точки Ai общей кривой g - это среднее арифметическое  всех четырёх двумерных стратов в окрестности этой точки.

Также индекс двойной точки можно вычислить как среднее арифметическое двух несмежных двумерных стратов в окрестности этой  точки.

Пусть Ai - двойная точка общей кривой g,  indAi= s, и пусть [A1A2] – хорда на Гауссовой диаграмме кривой g, соответствующая точке Ai. Тогда хорде     [A1A2] припишем индекс s.

Оснащённой Гауссовой диаграммой плоской кривой называется Гауссова диаграмма с отмеченными на её хордах  индексами.

Теорема 1:Пусть G –  оснащённая Гауссова диаграмма некоторой кривой на плоскости, тогда модуль индекса всякой хорды диаграммы G,  не превышает самого количества хорд на G.

max|indc|£n ,

где  с – хордаG, n – количество хорд G.

Теорема2(о максимальных кривых):

Для всякого натурального числа n, существует кривая, на оснащённой Гауссовой диаграмме G которой:

1)      max|indc|= n, где гдес – хорда G, n – количество хорд G.

2)      "   1 £i£ n  хорда  c ϵ G: |indс| = i

(т.е. существуют индексы хорд на диаграмме G, которые по модулю растут постоянно на единицу, начиная с индекса равного по модулю единице).

Лемма3: Для всякой кривой g, существует двойная точка, индекс которой равен нулю или по модулю равен единице, т.е. обязательно на кривой имеются точки, индексы которых равны:

–        либо 0,

–        либо  1,

–        либо -1.

Будем называть отрезком – непрерывный набор целых чисел, лежащий в определённых пределах.

Теорема 4: (о реализуемости отрезка индексов хорд длины m, кривой с m двойными точками):

       Если у кривой m двойных точек, то индексы на хордах оснащённой Гауссовой диаграммы принимают значения принадлежащие отрезку [-m, m]. Если из этого набора индексов выбрать произвольно отрезок длины m, то кривая с таким набором индексов будет реализуема.

Теорема 5:Пусть отрезок  I  длины kиk<m, тогда существует кривая с m  двойными точками набор индексов которой совпадает с I, лежит в отрезке

[-m, m], если среди индексов есть хотя бы один из индексов  0, -1, +1.

  Пусть есть кривая g с mдвойными точками. Индексы двойных точек этой кривой образуют набор I из m чисел, в котором:

1)      Минимальное число xmin³ -m

2)      Максимальное число xmax£m

3)      В I содержится 0,

4)      В I содержатся все числа из набора [xmin, xmax]

Теорема6:Пусть есть набор I из m чисел, удовлетворяющих пунктам 1-4, тогда существует кривая gс m двойными точками и набором индексов I.

Лемма7:Пусть  Г – кривая, d - одномерный страт кривой Г (дуга),       

А1,  А2 – нульмерные страты кривой  Г смежные с d. Тогда либо:

1)      ind А1= ind А2

2)      ind А1 =ind А2 ±1 (Рис. 7)

 

 

Рисунок7. Индекс нульмерного страта.

Теорема8:ПустьG – оснащённая Гауссова диаграмма некоторой кривой, если  существуют хорды на диаграмме G  с индексами   m-1 и  m+1,

то существует и хорда с индексом m, где  mϵZ.

Пример:

 

Рисунок8. Пример вычисления индексов.