Большинство экономических задач состоит в нахождении наибольшего или наименьшего значения. Например, нахождение максимальной прибыли, максимального объёма производства или минимальных издержек. Простой перебор частных решений нерационален. Для решения такой задачи условие записывается математически.
Цель задачи – функция, которая называется целевой функцией. Целевая функция – экстремальное (min, max) значение выбранного целевого параметра. Целевая функция может быть линейной или нелинейной. Линейная целевая функция имеет экстремумы только при определённых условиях (ограничениях). Эти ограничения в условиях задачи имеют вид уравнений и неравенств, которые образуют систему ограничений. Математическая запись линейной целевой функции системы ограничений называется математической моделью задачи. Одной из распространённых задач является задача на оптимальное использование ресурсов. Рассмотрим задачу на оптимальный выпуск шоколада.
Задача. Фирма выпускает два вида шоколада: белый и чёрный. Их производство ограничено сырьём. На 1 кг каждого вида требуется какао-бобы, молоко и орехи. Фирма может получать ограниченное количество ресурсов в сутки. Данные приведены в таблице 1.
Таблица 1
Условия задачи
|
Ресурсы |
Расход ресурсов |
Запасы, кг |
|
|
Белый |
Чёрный |
||
|
Какао-бобы |
0,4 |
0,5 |
100 |
|
Молоко |
0,5 |
0,4 |
50 |
|
Орехи |
0,1 |
0,1 |
10 |
Известно, что суточный спрос на белый шоколад превышает спрос на чёрный не более, чем на 20 кг, и спрос на чёрный шоколад не превышает 70 кг в сутки. Какое количество каждого вида шоколада должна выпускать фирма для получения максимального дохода, если цены белого шоколада 30 руб., чёрного – 40 руб.?
Решение. Пусть x1 кг – количество белого шоколада, а x2 кг – чёрного. Тогда целевая функция будет иметь вид:
при ограничениях:
Решим задачу графически (рисунок).
Графическое решение
Получаем точку с координатами (60; 40).
Таким образом, для получения максимального дохода фирма должна выпускать 60 кг белого шоколада и 40 кг чёрного. В итоге максимальная прибыль будет равна:
60*30 + 40*40 = 3400.
Дадим экономический анализ оптимального решения задачи. Ограничения могут быть активными и пассивными. Если прямая проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то это активное ограничение, т.е. ограничение по орехам активное, и этот ресурс является дефицитным.
С увеличением дефицитного ресурса прибыль увеличится.