Постановка проблемы. В современных экономических исследованиях часто возникает необходимость моделирования динамических процессов, как экономический рост, потребление и инфляция. Традиционные методы анализа не всегда позволяют точно предсказать поведение этих систем. В связи с этим, использование дифференциальных уравнений, в частности численных методов решения, становится актуальным для создания более точных и надежных моделей.

Цель статьи. Исследование применения методов Эйлера и Рунге-Кутты для моделирования экономических процессов. В частности их эффективности и точности при прогнозировании динамики экономического роста. Преимущества и недостатки каждого метода.

Основная часть. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании экономических процессов, поскольку они позволяют описать динамические системы, изменения которых происходят во времени. В экономике многие явления, как рост производства, инфляция, безработица, потребление, инвестиции, зависимы от изменения различных факторов в течение времени. Дифференциальные уравнения становятся мощным инструментом для их анализа и предсказания будущих состояний.

Давайте для начала рассмотрим несколько ключевых моделей дифференциальных уравнений, которые примененяются в экономическом моделировании:

· Модель Солоу. Разработанная Робертом Солоу в 1956 году. Она описывает, как накопление капитала, труд и технологический прогресс влияют на долгосрочный экономический рост. Основные компоненты модели включают производственную функцию, которая связывает выпуск с капиталом и трудом, и уравнение накопления капитала, которое показывает, как инвестиции и амортизация влияют на капитал. Модель Солоу используется для анализа факторов, влияющих на экономический рост, и для разработки экономической политики, направленной на повышение уровня жизни. В этой модели основное дифференциальное уравнение связывает изменения в капитале (инвестиции и амортизация) с ростом производства. Это уравнение позволяет изучить долгосрочные тенденции роста и устойчивости экономики. [1] [2] [3]

где k — капитал, I — инвестиции, δ — коэффициент амортизации.

Рис. 1. Исходная модель Солоу

· Ещё один пример модель Харрода-Домара, дифференциальное уравнение для вычислений динамики потребления, описания изменений в потреблении и капитале во времени, широко применяется для моделирования в экономике имеет вид:

где G — темпы экономичекого роста, S — доля сбережений в национальном доходе, C — коэффициент капиталоемкости (основной капитал деленный на выпуск продукции). [4] [5]

Рис. 2. Модель Харрода-Домара

· Уравнение Фишера (для низких уровней инфляции):

где i — номинальная процентная ставка, r — реальная процентная ставка, а π — уровень инфляции. [6]

Метод Рунге-Кутты является одним из наиболее популярных численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Он широко применяется в экономике для моделирования различных динамических процессов.

Метод Эйлера — это один из самых простых и базовых численных методов для решения дифференциальных уравнений. Он используется для аппроксимации решения начальных задач, когда нужно найти значение функции y(t) в момент времени t, зная её значение в начальный момент времени t0.

Рис. 3. Геометрическая интерпритация метода Эйлера

Применение для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

метод Эйлера аппроксимирует значение y(t) в момент времени tn+1 через значение функции в предыдущем шаге yn:

​ где h — шаг по времени (размер шага), tn = t0 + n ⋅ h — текущий момент времени.

Метод Эйлера используется для моделирования простых экономических процессов, таких как рост капитала, изменения потребления или сбережений, где точность не всегда критична, и возможно использование больших шагов по времени. [7] [8]

Метод Рунге-Кутты — это более сложный и точный численный метод для решения дифференциальных уравнений, который включает в себя несколько промежуточных оценок значений функции для вычисления следующего шага. Наиболее часто используется метод Рунге-Кутты 4-го порядка, который обладает хорошим соотношением точности и вычислительных затрат.

Рис. 4. Склоны, используемые по классическому методу Рунге-Кутты

Для решения дифференциального уравнения:

метод Рунге-Кута 4-го порядка аппроксимирует y(t) через несколько промежуточных шагов:

Вычисляются четыре промежуточных значения (которые оценивают наклон функции на разных уровнях t в пределах шага):

Затем новое значение вычисляется как взвешенная сумма этих значений:

Метод Рунге-Кута 4-го порядка часто используется для моделирования более сложных экономических процессов, где требуется высокая точность и стабильность, например, в моделях, описывающих долгосрочный экономический рост, оптимизацию потребления и сбережений, а также в расчетах для сложных финансовых моделей. Он применим в ситуациях, когда экономические данные или условия изменяются быстро и необходимо учитывать точные изменения со временем. [9] [10]

Давайте рассмотрим пример – моделирование накопления капитала в модели экономического роста, теперь с использованием метода Эйлера и Рунге-Кутты 4-го порядка.

Метод Эйлера. Модель можно описать дифференциальным уравнением следующего вида:

где K(t) — капитал в момент времени, I(t) — инвестиции, δ — коэффициент амортизации, t — время.

Допустим, что инвестиции I(t)— это постоянное значение, I=5000 рублей в год, а амортизация капитала δ=0.1 (10% в год). Условия задачи:

· Начальная сумма капитала K(0)=10,000 рублей,

· Темп накопления капитала I=5000 рублей в год,

· Амортизация δ=0.1,

· Срок моделирования 10 лет.

Метод Эйлера использует приближённое решение для каждого шага времени, используя формулу:

где h — шаг по времени. Пусть шаг h = 1 год, чтобы рассчитывать капитал по годам.

Год 1:

Год 2:

Год 3:

Год 4:

Год 5:

Год 6:

…

После 10 лет сумма капитала будет приближённо равна K(10) ≈ 67899.55 рублей.

Метод Рунге-Кутты. Дифференциальное уравнение, описывающее динамику капитала:

где K(t) — капитал в момент времени, I — инвестиции, δ — коэффициент амортизации, t — время.

Для уравнения данного схемы вычислений будут следующими:

Обновление значения K(t + h):

где Kn — капитал в момент времени, h — шаг по времени (в нашем случае 1 год).

Теперь обновим капитал:

Теперь повторим расчеты для следующего шага:

Снова обновим капитал:

…

Применив метод Рунге-Кутты для всех шагов, итоговая сумма капитала через 10 лет составит около 72899.56 рублей.

Далее воспользовавшись интернет-ресурсом – калькулятором инвестиций мы можем построить 2 диаграммы, чтобы посмотреть насколько сильны результаты отклонений при использовании этих методов.

Рис. 5. Диаграмма соотношений конечной суммы [11]

Рис. 6. Диаграммы по результатам методов Эйлера и Рунге-Кутты

Выводы. По результатам расчетов становится ясно, что методы Эйлера и Рунге-Кутты имеют гораздо более меньшую точность чем предназначенные для подсчета инвестиций формулы. В то время как начальная сумма (10000) и сумма пополнений (50000) не меняется, сумма дохода имеет различия:

Таблица 1. Результаты подсчетов

Чтобы повысить точность результатов необходимо уменьшить h — шаг по времени, но тогда вычисления будут занимать гораздо больше времени. Теперь мы можем построить таблицу для сравнения этих двух методов:

Таблица 2. Сравнение эффективности методов Эйлера и Рунге-Кутты