Предметом институционализма является анализ взаимодействия индивида и структур, его обеспечивающих, и математический аппарат, традиционно используемый (например, дифференциальное исчисление), вряд ли приемлем в качестве базового метода в анализе взаимодействий. Главным образом потому, что использование этого аппарата обосновывается рядом утверждений из «жесткого ядра» неоклассики, с которыми соглашаются далеко не все институционалисты: полной рациональностью индивидов, существованием, единственностью и Пареттооптимальностью равновесия, экзогенным характером предпочтений, описываемых ординалистской теорией предельной полезности. Учитывая это, формальные модели в институциональной экономике можно строить с помощью теории игр, теории графов, а также на основе методов нечеткой математики и нечеткой логики [1–4].

Сторонники игрового подхода к исследованию институтов рассматривают институт как правила некой игры, которую один участник взаимоотношений ведет с другими участниками [3].

Другими словами, игра – это упрощенная модель конфликта. В отличии от конфликта игра ведется по четким правилам. При анализе взаимодействий между субъектами, обычно рассматривают игру с двумя участниками. Классической задачей теории игр такого типа является “дилемма заключенных”, которая частично используется в экономике соглашений [1;4].

Простейшим примером конфликтной ситуации является игра с нулевой суммой или антагонистическая игра, в которой выигрыш одной стороны конфликта в точности совпадает с проигрышем другой. В случае, когда интересы игроков не противоположны, возможны различные варианты в зависимости от того, кооперируются ли игроки (кооперативные игры) или действуют каждый сам по себе (некооперативные игры) [5].

В данной работе мы предлагаем рассмотрение решения некооперативных игр 22 на примере анализа игры “дилемма заключенных” в некооперативном варианте.

В институциональной экономике гораздо чаще встречается ситуация, когда интересы игроков A и B не являются противоположными (). В этом случае у каждого игрока будет своя платежная матрица. Поэтому игра называется биматричной [4–5].

Мы ограничимся биматричными играми 22, то есть у каждого игрока всего две стратегии: соответственно.

Матрицы выигрышей игроков таковы:

, .

Смешанные стратегии игроков представим в виде и , где , – вероятности. При этом средний выигрыш (математическое описание) игрока А равен:

.

Средний выигрыш игрока В равен:

. .

Пара чисел () определяет равновесную ситуацию, если , для всех то есть отклонение от оптимальной стратегии оного из игроков при условии, что другой игрок придерживается своей оптимальной стратегии, уменьшает средний выигрыш отклонившегося игрока.

В данном случае применима теорема Нэша. Любая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях [5].

Покажем, как найти равновесие ситуации. По матрице А находим числа и решаем систему неравенств:

По матрице В находим числа и решаем систему неравенств:

Изобразим обе полученные кривые в координатах (p, q). Точки пересечения этих кривых, лежащие в квадранте и определяют равновесные ситуации. Для каждой равновесной ситуации находим средние выигрыши и [5, c.115].

Пример. Решим 22 биматричную игру “дилемма заключенных” в некооперативном варианте.

Двое преступников (первый и второй игроки), подозреваемые в совместном совершении тяжкого преступления, находятся изолированно друг от друга в предварительном заключении. Прямые улики у следствия отсутствуют, поэтому успех обвинения зависит от того, признаются ли заключенные. У каждого из заключенных есть две стратегии: признаться (первая стратегия) или не признаваться (вторая стратегия). Если оба преступника признаются, то они будут признаны виновными и приговорены к восьми годам заключения. Если ни один из них не признается, то по обвинению в основном преступлении они будут оправданы, но суд все-таки признает их вину в менее значительном преступлении (например, в ношении оружия), в результате чего оба будут приговорены к одному году заключения. Если же признается только один из них, то признавшийся будет освобожден (за помощь следствию), а другой преступник – приговорен к максимальному сроку заключения, равному десяти годам [4, c.452].

Решение. Матрицы выигрышей игроков таковы:

Решаем систему:

Случай 1: , тогда ; Случай 2: , тогда ; Случай 3: .

Наглядно это решение представлено на рисунке (1.а).

Рис. 1. Кривые в координатах : а) – для игрока А; б) – для игрока В.

Решаем систему:

Случай 1: , тогда ; Случай 2: , тогда ; Случай 3: .

Наглядно это решение представлено на рисунке (1.б).

Совместим оба графика для того, чтобы получить равновесие всей задачи (рисунок 2).

Рис. 2. График равновесия всей задачи.

Получилась одна точка пересечения: то есть одна равновесная ситуация. Отметим, что .

Средний выигрыш игрока А равен: , то есть оптимальная стратегия игрока А – признаться и получить восемь лет заключения.

Средний выигрыш игрока В равен: , то есть гарантированный выигрыш игрока В равен –8 и его оптимальная стратегия – признаться.

Выводы: В данной работе рассмотрен графоаналитический метод решения некооперативных 22 игр. Проведен анализ классической задачи теории игр “Дилемма заключенных” в некооперативном варианте. Результаты, полученные в работе, могут быть применены для решения задач институциональной экономики.