Пусть Ω множество измеримых положительных функций ω на для которых существуют числа , причем , такие, что

,

, [1].

Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция ω, отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу Ω. Отметим также, что функции вида

при всех также принадлежат классу Ω, а функции вида

не принадлежат данному классу [2].

В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел . Рассмотрим класс Ω при

.

В следующей теореме мы получим интегральное представление функции из класса

Теорема 1.1. Класс Ω совпадает с классом функций ω, допускающих на Δ представление

где η и ε – ограниченные измеримые функции на Δ, причем

.

Доказательство теоремы основано на ряде вспомогательных утверждений. [3]

Лемма 1.1. Если

,

то

Доказательство. При оценка следует непосредственно из определения класса Ω.

Предположим, что оценка установлена для некоторого , то есть для

справедливо

Докажем аналогичную оценку при .

Пусть

.

Положим , очевидно, что

.

По предположению

.

Но поскольку , и

то

Используя предположение индукции, получим оценку

то есть , .

Лемма 1.2. Пусть тогда существуют положительные числа такие, что

.

Доказательство. Пусть

По лемме 1.1.

,

при

.

Докажем, что аналогичная оценка верна и при всех

.

Действительно, поскольку

,

то .

Записывая теперь аналогичную оценку для произвольного k, получим:

при всех

Положив далее

,

получим:

то есть

,

или

,

где

Доказательство теоремы 1.1.

Положим

(1.1)

Очевидно, что функция δ измерима и ограничена. Действительно,

,

поэтому, интегрируя по отрезку , получим:

,

, или .

Из равенства (1.1) непосредственно следует, что

.

Преобразуем последний интеграл:

.

Учитывая равенства

имеем:

Положив далее

получим нужное представление, причем

(1.2)

В дальнейшем положим

(1.3)

Очевидно, что

,

при этом

Следствие 1.1. Пусть

Тогда при справедлива оценка

.

Доказательство. Из оценок (1.2), (1.3) имеем

то есть

.

Аналогично, учитывая ограниченность функции ε снизу и оценку (1.2), получим

, .