Для характеристики линейных электрических цепей используются линейные уравнения для токов и напряжений. Линейные электрические цепи можно заменить линейными схемами замещения из линейных пассивных (резистивные элементы) и активных элементов (постоянные источники ЭДС или источники тока) с линейными вольтамперными характеристиками [3].

Линейные электрические цепи имеют следующие свойства: принцип наложения и эквивалентного генератора, принцип взаимности, теорема о линейных соотношениях, теорема компенсации. Эти свойства учитываются при выборе методов расчета и свойств линейных электрических цепей. Наиболее применимы: метод эквивалентного преобразования, расчет схем с использованием законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения, применение матриц (узловая, диагональная, матрица сопротивлений). Матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Рассмотрим применение матриц к расчету линейных электрических цепей [1].

Задача: рассчитать электрическую цепь, применив матрично-топологический метод.

Дано: E1 = 120 В, E2 = 210 В, E9 = 60 В, I = 2 А, R1 = 25 Ом, R2 = 10 Ом, R2 = 8 Ом, R4 = 10 Ом, R5 = 34 Ом, R6 = 30 Ом, R7 = 20 Ом, R8 = 2 Ом.-

Схема:

Рис. 1

Решение. Для того чтобы составить граф этой схемы, необходимо исключить из ветви ЭДС E9, перенеся её через узел f, и заменить источник тока J на источник ЭДС E6 = IR6.

Преобразованная схема будет иметь вид рис. 2.

Рис. 2

Примечание. На полученной схеме узлы d и f допустимо рассматривать как один узел d.

Поскольку после преобразований ток, который течет через R6, изменился, то обозначим его I’6.

Граф для преобразованной схемы будет иметь вид рис. 3.

Рис. 3

Узловые и контурные матрицы удобно составлять по графу схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением, равным нулю. Если такие ветви имеются, то их следует исключить, используя эквивалентные преобразования [2].

Составим узловую матрицу А для графа (рис. 3), выбрав опорным узел d:

Ветви

Узлы

Составим контурную матрицу В для направлений обходов независимых контуров:

Ветви

Контуры

Связь между узловой и контурной матрицами определяется формулами:

Составим диагональную матрицу сопротивлений ветвей R:

,

а также матрицу ЭДС ветвей Е:

Найдем контурные токи по формуле

Найдем реальные токи в ветвях по формуле

Рассчитаем токи I6 и I8 в схеме (рис. 1), применив первый закон Кирхгофа:

Определим UJ, применив второй закон Кирхгофа:

Вт.

Проверим правильность расчета с помощью баланса мощности:

.

.

Итак, токи в линейной электрической цепи рассчитаны верно.

Таким образом, для оптимизации решения электротехнических задач и упрощения процесса составления уравнений возможно и доступно использование узловой и диагональной матрицы.