Теория криволинейных интегралов представляет собой раздел математического анализа, где происходит обощение методов интегрального исчисления на вычисление интегралов по областям, которые расположены на плоскости или в пространстве.

Именно с помощью криволинейных интегралов можно высчитать длину кривой, статические моменты, координаты центра тяжести, площади плоских фигур и цилиндрической поверхности, работу переменной силы и многое другое. Поскольку приложения криволинейных интегралов очень обширны, можно сделать вывод о том, что выбранная тема является актуальной [5].

Раздел «Криволинейные интегралы» является одним из основных в курсе математического анализа, порой трудно поддающимся для глубокого усвоения и понимания изучаемого материала.

Рассмотрим ряд задач, имеющих прикладной характер:

1. Вычислить момент инерции относительно аппликаты одного витка однородной винтовой линии (Рис. 1)

Решение: По формулам, получаем

Рис. 1

Решение: Данная задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода Используя формулу вычисления момента инерции получим:

где .

2. Вычислить ньютонов потенциал окружности массой в точке плотность в любой точке окружности пропорциональна расстоянию от этой точки до оси [3].

Решение: Воспользуемся полярными координатами (рис. 2):

Рис. 2

Получаем .

Плотность линии в точке Очевидно, что нам надо подсчитать коэффициент . Вычислим массу окружности:

По формуле вычисления потенциала в некоторой точке :

получим:

Произведем замену: .

Если тогда , а если , то . Подставив все наши преобразования в формулу:

3. Вычислить работу векторного поля

вдоль правой части кривой от точки до точки [6].

Решение: Преобразуем уравнение кривой . Данное уравнение задает окружность с радиусом , с центром в точке . Точки и лежат на этой окружности, причем противоположно, на диаметре. Обозначим путь , который обозначает правую дугу окружности, которая соединяет точки и . А путь – отрезок прямой Тогда необходимая нам область – это полукруг радиуса .

Зададим путь : где изменяется от 1 до 3. Получаем:

.

Если – наша область, то формулу нахождения работы можно записать так:

4. Найти индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии

от оси бесконечно длинного проводника с током

Решение: Выведем для начала нашу формулу в общем виде. Рассмотрим круговой контур произвольного радиуса (рис.3) , который расположен перпендикулярно проводнику с током

Рис. 3

Так как магнитное поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение , равно Воспользуемся формулой криволинейного интеграла:

. В результате получим: или , где относительная магнитная проницаемость среды,

магнитная постоянная. Подставляя данные нашей задачи, получим

5. Рассчитать значение электрического поля и электродвижущей силы , которые возникают в кольце у летчика самолета в магнитном поле Земли, если летчик разгонит самолет до скорости 864 км/ч.

Решение: Рассчитаем для начала значение электрического поля. Образованное электрическое поле имеет постоянную амплитуду в силу симметрии абсолютно в любой точке кольца. Данное электрическое поле направлено к кольцу по касательной в любой его точке. Вычислим криволинейный интеграл:

Очевидно, что для вычисления электродвижущей силы, необходимо найти электрическое поле. По закону Фарадея Появляется изменение магнитного потока , которое проходит через кольцо, так как проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли. Сделаем предположение, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Изменение магнитного потока за равно где скорость самолета. Подставляя в формулу, полученную выше, получаем:

Все формулу найдены, теперь осталось только подсчитать:

6. В деревне Черныши Краснинского района трактористу Анатолию надо вспахать борозду, чтобы засеять ее морковью. Сложность работы Анатолия заключается в том, что борозда неровная и через равные участки длиной 5 м ему попадаются сильные насыпи одинакового размера в форме циклоиды, высотой 65 см, причем их 8 штук. За сколько примерно времени тракторист вспашет борозду, если скорость его рабочей машины 7,2 ?

Решение: Для решения данной задачи необходимо найти длину нашей борозды (рис. 4). Найдем длину нашей борозды, но для начала найдем длину одной насыпи.

Рис. 4

Зададим нашу линию параметрически:

,где Будем использовать формулу

Вычислим производные:

Высота нашей насыпи 0,65 м, значит поэтому длина нашей насыпи м.

Так как всего наших насыпей 8 штук, то значит длина всех неровностей 20,8м.

Но наша борозда состоит и из ровных участков, длиной 5м (рис. 5), их 9 штук:

Рис.5

Подсчитаем общую длину борозды:

Переведем

Осталось подсчитать время

В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме.