Во время изучения сходящихся последовательностей обучающиеся подготавливают после соответствующей лекции по заданию преподавателя интерактивные обучающие документы ([1]). Для качественного изучения учебного материала возникает необходимость в самостоятельном изучении отдельных вопросов темы, не изученных на лекции ([2]).

Для самостоятельного изучения более предпочтительно использование технологии укрупнённых дидактических единиц (УДЕ), в частности обобщённых укрупнённых дидактических единиц (ОУДЕ) ([4], [5]), которые включают в себя большинство математических операций, изучаемых в разделе или теме.

Вся история применения УДЕ убеждает, что во время занятия (будь то лекционное или практическое) наряду с традиционными заданиями необходимо использовать «многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически» ([7], стр.19) собранных в единое целое, состоящих в решении стандартной задачи, составлении и решении обратной задачи, аналогичной для прямой и обратной, обобщённой по некоторым параметрам исходной (стандартной).

Решение приведённого далее примера основывается на ряде теорем, касающихся сходящихся последовательностей – имеет только один предел, ограничена; сумма (разность, произведение, частное, при условии, что предел знаменателя не равен нулю) двух сходящихся последовательностей – сходящаяся последовательность, при этом предел её равен сумме (разности, произведению, частному) пределов. Необходимо отметить, что во время проведения литературного обзора подобных задач и их решений не имеется ни в одном из источников. Тем самым данное исследование имеет научную новизну и, как следствие, практическую значимость для процесса обучения.

Рассмотрим следующую ОУДЕ.

ОУДЕ № 1. Прямая задача.

I. , .

II. , , , , , .

III. ⇒,

= ⇒.

; ; ; .

Рассмотрим следующую задачу, которая является обратной задачей по сути, но не по содержанию.

Обратная задача

I. , .

II. .

III. ⇒, ⇒, , , ,

, , ⇒⇒,

, ⇒⇒.

Проанализировав приведённую выше ОУДЕ, обучающиеся самостоятельно приступают к составлению и решению аналогичных задач. Приведём некоторые результаты их опытов. Напомним, что решить ОУДЕ – значит решить прямую задачу, составить обратную и решить также её.

1. Даны последовательности: , . Вычислить , , , , , . Решить ОУДЕ.

2. Даны значения: , . Записать представление . Решить ОУДЕ.

3. Даны последовательности: , . Вычислить , , , , , . Решить ОУДЕ.

4. Даны значения: и . Записать представление . Решить ОУДЕ.

Рассмотрим ещё несколько примеров, для которых легко составить обратные задачи, которые нужно затем решить.

УДЕ № 2.

I. – последовательность, a gt; 1.

II. Доказать, что заданная последовательность бесконечно малая.

III. Пусть некоторое число , тогда

,

где .

Оценим полученный результат:

Следовательно,

.

По определению такая последовательность бесконечно малая ч.т.д.

УДЕ № 3.

I. – последовательность.

II. Доказать, что .

III. .

Выберем число , рассмотрим

,

т.к. – предел, то должно (по определению) выполняться следующее неравенство

.

Находя обратные величины, получаем:

и, тогда

,

при этом правая часть двойного неравенства не может иметь места (). Следовательно,

.

Результат надо интерпретировать так, что

при и при . Это и является ответом.

УДЕ № 4.

I. Последовательности и .

II. Доказать, что и ограничена сверху, и ограничена снизу, и имеют общий предел: .

III. Отношения

.

Для их вывода использовалось простое неравенство:

.

Из полученных двух отношений следует, что , , а также

xn lt; yn.

Вычислим разность

(полученное равенство называется вторым замечательным пределом).

Решения прямых задач со второй по четвёртую вносятся в интерактивный обучающий документ. Для каждой из них составляется обратная, которые также вводятся в документ.

Наиболее значимым с точки зрения методики является самостоятельность в составлении и решении аналогичных ОУДЕ, включение их в обучающие интерактивные документы доступные всем студентам группы для совместного анализа и обсуждения ([3], [6]), по результатам которых делается обобщённый вывод. В самой структуре УДЕ и ОУДЕ заложена успешность усвоения учебного материала. Занятие, построенное таким образом, проходит в активной и интерактивной форме и, несомненно, мотивирует студентов заниматься учебно-исследовательской, а далее и научно-исследовательской работой.