Сплайны [1] имеют многочисленные применения, как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях.

В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования.

Сплайны двух аргументов называют би-сплайнами (например, бикубический сплайн), которые являются двумерными сплайнами, моделирующими поверхности. Их часто путают с B-сплайнами (базисными сплайнами), которые являются одномерными и в линейной комбинации составляют кривые – каркас для «натягивания» поверхностей.

Также из базисных сплайнов возможно составить трёхмерную конструкцию для моделирования объёмных тел.

Рассмотрим алгоритм кусочно-квадратичной интерполяции.

Пусть в результате некоторого опыта получены экспериментальные данные, которые можно представить в виде таблицы (табл. 1).

Таблица 1

Точки , , …, называются узлами интерполяции. Все точки принадлежат отрезку [a; b], где , .

Для удобства будем полагать, что узлы – равноотстоящие с шагом , тогда

, .

Сплайном (англ. spline) называли гибкую металлическую линейку – универсальное лекало, которое использовали чертёжники для соединения точек на чертеже плавной кривой, то есть для графического исполнения интерполяции.

В вычислительной математике сплайном называется функция, которая вместе с производными непрерывна на всём заданном отрезке [a; b], но при этом на каждом частичном отрезке [; ] в отдельности представляется в виде некоторого алгебраического многочлена.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a,b] производной – дефектом сплайна.

Алгоритм кусочно-квадратичной интерполяции относительно прост и включает в себя два этапа:

1) нужно найти три узла, ближайших к узлу интерполяции;

2) вычислить значение интерполяционного многочлена второй степени.

Первый этап реализуется в зависимости от регулярного или нерегулярного расположения узлов интерполяции.

Не умаляя общности, можно предположить, что узлы интерполяции расположены произвольно. Тогда, поиск ближайших точек можно осуществить в виде цикла, в котором очередной узел интерполяции последовательно сравнивается с правыми границами отрезков интерполяции.

В том случае, когда выполняется условие , то для интерполяции выбираются (k-1)-й, k-й и (k+1)-й узлы.

Иначе k увеличивается на единицу.

Код программной реализации кусочно-квадратичной интерполяции сплайнами: