При обследовании 2000 тепличных хозяйств было отобрано 110 теплиц. Распределение их по объёму совокупных ежегодных продаж (ден. ед.) приведено в таблице:

Найти:

а) вероятность того, что средний объём продаж во всех тепличных хозяйствах отличается от среднего объёма продаж в выборке не более чем на 100 ден. ед. (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля теплиц, объём продаж которых не более 1000 ден. ед.;

в) каким должен быть объём выборки, чтобы те же границы для доли теплиц, объём продаж которых не более 1000 ден. ед., можно было гарантировать с вероятностью 0,999?

Решение. Предварительно находим числовые характеристики выборки:

а) Для вычисления искомой вероятности применим формулу

,

где , – аргумент функции Лапласа, который в случае неизвестного σг и известного объёма генеральной совокупности , определяется по формуле:

Имеем

.

Тогда

(2,03) = 2 ∙ 0,4788 = 0,9576.

б) По данной таблице найдём долю теплиц с объёмом продаж не более 1000 ден. ед.:

.

Пусть – интервал, в который с вероятностью 0,97 попадает доля .

Значение определяется по формуле:

.

Т. к. γ = 0,97 = Ф(t), то

Ф(t) = 0,97 / 2 = 0.485.

По таблице находим t = 2,17.

Тогда

.

Окончательно находим доверительные границы:

;

.

в) Объём выборки определяем по формуле:

,

где (см. п. б), т. к. по условию задачи границы те же).

Для доверительной вероятности находим по таблице значение аргумента .

Имеем

.

Окончательно .