Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

TEST OF SIGNIFICANCE FOR CORRELATION COEFFICIENT

Saveleva A.S. 1 Chernenko N.A. 1
1 Stavropol State Agrarian University
The researcher is often interested in how two or more variables are related to one or more of the samples studied. For example, can growth influence the weight of a person, or can pressure affect product quality? This kind of relationship between variables is called correlation, or correlation. The problem of correlation analysis is reduced to establishing the direction (positive or negative) and the form (linear, nonlinear) of the relationship between the varying signs, measuring its tightness, and, finally, to checking the significance level of the correlation coefficients obtained. The article discusses the use of correlation analysis with calculation of correlation coefficients t-test. The article gives an overview of the assessment of the degree of closeness of the relationship between the variables.
correlation analysis
correlation coefficients
sampling
variables
random vibration
a general population

Как неоднократно отмечалось, для статистического вывода о наличии или отсутствии корреляционной связи между исследуемыми переменными необходимо произвести проверку значимости выборочного коэффициента корреляции. В связи с тем что надежность статистических характеристик, в том числе и коэффициента корреляции, зависит от объема выборки, может сложиться такая ситуация, когда величина коэффициента корреляции будет целиком обусловлена случайными колебаниями в выборке, на основании которой он вычислен. При существенной связи между переменными коэффициент корреляции должен значимо отличаться от нуля. Если корреляционная связь между исследуемыми переменными отсутствует, то коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ равен нулю [9].

Как всякая статистическая характеристика, выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, т.е. его значения случайно рассеиваются вокруг одноименного параметра генеральной совокупности (истинного значения коэффициента корреляции) [1].

При отсутствии корреляционной связи между переменными у и х коэффициент корре ляции в генеральной совокупности равен нулю. Но из-за случайного характера рассеяния принципиально возможны ситуации, когда некоторые коэффициенты корреляции, вычисленные по выборкам из этой совокупности, будут отличны от нуля [5].

Процедура проверки значимости начинается с формулировки нулевой гипотезы H0. В общем виде она заключается в том, что между параметром выборки и параметром гене ральной совокупности нет каких-либо существенных различий. Альтернативная гипотеза H1 состоит в том, что между этими параметрами имеются существенные различия. Например, при проверке наличия корреляции в генеральной совокупности нулевая гипотеза заключается в том, что истинный коэффициент корреляции равен нулю svl1.wmf. Если в результате проверки окажется, что нулевая гипотеза не приемлема, то выборочный коэффициент корреляции svl2.wmf значимо отличается от нуля (нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная Н1) [7, 10].

При проверке значимости исследователь устанавливает уровень значимости α, который дает определенную практическую уверенность в том, что ошибочные заключения будут сделаны только в очень редких случаях. Уровень значимости выражает вероятность того, что нулевая гипотеза Н0 отвергается в то время, когда она в действительности верна. Ясно, что имеет смысл выбирать эту вероятность как можно меньшей [2].

Пусть известно распределение выборочной характеристики, являющейся несмещенной оценкой параметра генеральной совокупности. Выбранному уровню значимости α соответствуют под кривой этого распределения заштрихованные площади (см. рис. 1). Незаштрихованная площадь под кривой распределения определяет вероятность

svl3.wmf.

Границы отрезков на оси абсцисс под заштрихованными площадями называют критическими значениями, а сами отрезки образуют критическую область, или область отклонения гипотезы [3].

Когда же надо убедиться в том, что одна величина в среднем строго больше или мень ше другой, используется односторонняя критическая область. Если распределение выборочной характеристики симметрично, то уровень значимости двусторонней критической области равен α, а односторонней svl4.wmf (см. рис. 1). Далее мы лишь укажем критерии значимости для различных процедур, не останавливаясь на их построении [6].

sav1.tif

Рис. 1 Проверка нулевой гипотезы H0

Проверяя значимость коэффициента парной корреляции, устанавливают наличие или отсутствие корреляционной связи между исследуемыми явлениями. При отсутствии связи коэффициент корреляции генеральной совокупности равен нулю (p=0). Процедура проверки начинается с формулировки нулевой и альтернативной гипотез [8]:

Н0: различие между выборочным коэффициентом корреляции r и ρ = 0 незначимо,

Н1: различие между r и p=0 значимо, и следовательно, между переменными у и х имеется существенная связь. Из альтернативной гипотезы следует, что нужно воспользоваться двусторонней критической областью.

Выборочный коэффициент корреляции при определенных предпосылках связан со случайной величиной t, подчиняющейся распределению Стьюдента с svl5.wmf степенями свободы [4].

Вычисленная по результатам выборки статистика

svl6.wmf (1)

сравнивается с критическим значением, определяемым по таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости α и svl8.wmf степенях свободы. Правило применения критерия заключается в следующем: если svl9.wmf, то нулевая гипотеза на уровне значимости α отвергается, т. е. связь между переменными значима; если

svl11.wmf,

то нулевая гипотеза на уровне значимости α принимается. Отклонение значения r от svl12.wmf можно приписать случайной вариации. Данные выборки характеризуют рассматриваемую гипотезу как весьма возможную и правдоподобную, т. е. гипотеза об отсутствии связи не вызывает возражений.

Рассмотрим на конкретном примере проверку гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.

Для 15 пар порядковых переменных (x, y) был вычислен коэффициент корреляции Спирмена, который оказался равным svl13.wmf. При уровне значимости svl14.wmf проверить гипотезу H0 о равенстве генерального коэффициента ранговой корреляции нулю svl15.wmf при конкурирующей гипотезе svl16.wmf.

Решение:

svl17.wmf

Постановка задачи:

Найдем наблюдаемое значение критерия:

svl18.wmf

Найдем значения границ двусторонней критической области из условия, что при малых объемах выборок критерий t распределен (при справедливости нулевой гипотезы) по закону распределения Стьюдента с числом степеней свободы svl19.wmf

На основе таблицы «Критические точки распределения Стьюдента» найдем границы двусторонней критической области на основе

svl20.wmf и svl21.wmf

Полученные результаты покажем графически (рис. 2).

Поскольку наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, то следует отклонить нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы. Это означает, что коэффициент ранговой корреляции значим: между двумя порядковыми случайными величинами X и Y в генеральной совокупности имеется значимая связь, которая говорит о наличии связи этих двух случайных величин.

sav2.tif

Рис. 2