Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Яблокова А.А. 1 Полянина А.С. 1

---

1 Камышинский технологический институт филиал ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет»

В работе исследуются возможные переходные процессы для уравнения генератора Ван дер Поля. Уравнение Ван дер Поля имеет нулевое и периодическое решения. Такая система описывает режим автоколебаний. В зависимости от управляющего параметра форма автоколебаний будет близка к гармонической или иметь релаксационный вид. При автоколебаниях имеет место приток энергии в систему. Причем источник энергии не обладает колебательными свойствами. Автоколебания описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с устойчивыми предельными циклами. Все фазовые траектории, выходящие из различных точек фазовой плоскости, стремятся к предельному циклу. В работе выполнено численное моделирование фазовых портретов и форм колебаний системы. Проведено качественное исследование движения фазовых траекторий, которое иллюстрирует результаты анализа устойчивости системы в линейном приближении.

Статья в формате PDF

0 KB

генератор

состояние равновесия

устойчивость

автоколебания

предельный цикл

1. Горобцов, А.С. Многофункциональные генераторы автоколебаний / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Известия ВолгГТУ. – 2011. – Вып. 11, № 9. – C. 19–22.

2. Горобцов, А.С Детектирование колебаний, близких к разрывным / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Биомедицинская радиоэлектроника.-2009. – № 8. – C. 32–34.

3. Кузнецов, А.П. Нелинейные колебания / А.П. Кузнецов, C.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. – М.: Изд-во «Физматлит», 2005. – 290 с.

4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М.: Изд. – во Едиториал УРСС , 2004. – 552 с.

5. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Я.Г. Пановко. – М.: Наука, 1991. – 246 с.

Наряду с колебательными системами, в которых энергия с течением времени может только уменьшаться из-за диссипации, существуют и такие, в которых возможно пополнение энергии колебаний за счет неустойчивостей. Это может иметь место, когда система в состоянии обмениваться с окружающей средой энергией или веществом, т.е. является энергетически открытой [3].

В открытых системах возникают автоколебания. Это незатухающие колебания в нелинейных диссипативных системах, характеристики которых – амплитуда, частота, форма колебаний определяются параметрами самой системы и не зависят от конкретных начальных условий.

В общих чертах понять природу этого явления – режима автоколебаний можно с помощью качественных соображений.

С течением времени фазовые траектории системы автоколебаний стремятся к некоторому притягивающему множеству – аттрактору. В случае периодических автоколебаний в фазовом пространстве системы наблюдаются устойчивые предельные циклы.

Осциллятор Ван дер Поля: условия устойчивости состояния равновесия. Основной математической моделью при исследовании периодических автоколебательных систем является уравнение осциллятора Ван дер Поля:

(1)

где q – динамическая переменная; ? – постоянная величина, управляющая возбуждением автоколебаний. Рассмотрим случай мягкого самовозбуждения системы, когда после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия наблюдаются колебания с малыми амплитудами. Пока колебания малы и выполняется неравенство , второе слагаемое уравнения Ван дер Поля будет оказывать дестабилизирующее действие, и колебания будут возрастать. Но с их увеличением указанное неравенство станет нарушаться и коэффициент при будет положительным в тех интервалах времени, в которых . B этих интервалах времени второе слагаемое уравнения будет оказывать демпфирующее влияние. При дальнейшем возрастании колебаний демпфирующее действие будет увеличиваться, и движение системы станет приближаться к стационарному режиму, которому соответствует взаимная компенсация дестабилизирующего и демпфирующего влияний [5]. Движение системы будет стремиться к режиму автоколебаний, которому соответствует постоянное значение амплитуды (рис. 1).

Рис. 1. Автоколебательный режим

При определении условий возникновения автоколебаний важно знать, какие состояния равновесия существуют в системе, и как меняется характер их устойчивости в зависимости от управляющих параметров [3].

Для нахождения точек равновесия и определения характера их устойчивости в осцилляторе Ван дер Поля, обычно рассматривается уравнение (1) в виде

,

или, по-другому, в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Для нахождения особых точек – положений равновесия решается система уравнений

Система имеет только тривиальное решение – единственную точку покоя .

Для определения устойчивости состояния равновесия рассматривают линеаризованную систему в окрестности точки . Матрицу линеаризации системы вычисляют по формуле

.

Для анализа поведения фазовых траекторий в локальной окрестности состояния равновесия учитываются собственные значения матрицы линеаризации [3, 4]:

1. Если , тогда собственные значения матрицы – отрицательные действительные числа. Состояние равновесия представляет собой устойчивый узел.

2. Если , тогда собственные значения матрицы – комплексно-сопряженные числа с отрицательной действительной частью. Состояние равновесия – устойчивый фокус.

3. Если , тогда собственные значения матрицы – комплексно-сопряженные числа с положительной действительной частью. Состояние равновесия является неустойчивым фокусом.

4. Если , тогда собственные значения являются действительными положительными числами. Состояние равновесия представляет собой неустойчивый узел.

Численное моделирование. Описанное поведение фазовых траекторий осциллятора Ван дер Поля относительно состояния равновесия проиллюстрированы с использованием численного моделирования. На рисунках представлены фазовые портреты и формы колебаний динамических переменных осциллятора.

Для случая мы действительно наблюдаем, что начало координат является особой точкой типа устойчивый узел (рис. 2).

На рис. 3 при фазовая траектория представляет собой спираль, скручивающуюся к точке – устойчивому фокусу.

Рис. 2. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

Рис. 3. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

Если , то состояние равновесия в начале координат теряет свою устойчивость (рис. 4, 5).

Замкнутые кривые, к которым неограниченно приближаются все фазовые траектории, описывают стационарные режимы автоколебаний и являются устойчивыми предельными циклами. Их областью притяжения служит вся фазовая плоскость.

Рис. 4. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

При малых положительных ? предельный цикл имеет форму близкую к эллипсу. Форма автоколебаний будет близка к гармонической (рис. 4). При увеличении ? предельный цикл меняет свою геометрию, искажается. Форма автоколебаний будет иметь релаксационный вид (рис. 5). При меняется и характер состояния равновесия : неустойчивый фокус переходит в неустойчивый узел.

Рис. 5. Форма колебаний и фазовый портрет для осциллятора Ван дер Поля при

Заключение

В работе было проведено качественное исследование решений уравнения Ван дер Поля, описывающих переход от состояния неустойчивого равновесия к устойчивому предельному циклу. Генератор Ван дер Поля является достаточно простой и общей моделью периодических автоколебаний. Наиболее частое применение это уравнение находит в радиофизике при построении автогенератора электромагнитных колебаний [3]. Современная теория синтеза структуры нелинейной колебательной системы для получения устойчивых предельных циклов развивается в направлении усложнения геометрии циклов и увеличения их числа (многоканальные системы). Задача создания методов синтеза автоколебательных режимов для многомерных систем остается актуальной [1, 2].

Библиографическая ссылка