Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

К ВОПРОСУ О ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ СИСТЕМЫ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ТИПА

Солодовник Н.В. 1 Полянина А.С. 1
1 Камышинский технологический институт филиал ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет»
В данной статье рассматривается метод конструирования систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с асимптотически устойчивыми интегральными кривыми. Подход к моделированию таких систем сводится к использованию функции Ляпунова. В фазовом пространстве системы наблюдается образование изолированных траекторий – устойчивых предельных циклов. Желаемые динамические свойства системы достигаются с помощью введения в структуру уравнений определенных стабилизирующих функций от переменных системы. Проведено численное моделирование типовых режимов системы при различных начальных условиях. При этом можно оценить время выхода траектории на предельный цикл. Полученные дифференциальные уравнения составляют систему автоколебательного типа и могут использоваться в качестве генераторов программных траекторий движения различных объектов управления.
дифференциальные уравнения
управление
устойчивость
предельный цикл
1. Горобцов, А.С. Синтез интегральных поверхностей Ламэ и стабилизация колебаний в их окрестностях / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Динамика сложных систем. – 2009. – Т. 3, № 1. – C. 59–62.
2. Горобцов А.С. Детектирование колебаний, близких к разрывным / А.С. Горобцов, Е.Н. Рыжов, А.С. Чурзина // Биомедицинская радиоэлектроника. – 2009. – № 8. – C. 32–34.
3. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. – М., 2003. – 224 с.
4. Gorobtsov A. About formation of the stable modes of the movement of multilink mechanical systems / A. Gorobtsov, E. Ryzhov, A. Polyanina // Vibroengineering Procedia. Vol. 8: proc. of 22nd International Conference on Vibroengineering (Moscow, Russia, 4–7 October 2016) / Publisher JVE International Ltd. – Kaunas (Lithuania), 2016. – P. 522–526.
5. Gorobtsov A., Polyanina A., Andreev A. The Use of the Limit Cycles of Dynamic Systems for Formation of Program Trajectories of Points Feet of the Anthropomorphous Robot. World Academy of Science, Engineering and Technology, International Science Index 126 // International Journal of Electrical, Computer, Energetic, Electronic and Communication Engineering. – 2017. – 11(6). – 717 – 720.

В настоящее время в связи с решением современных задач управляемых колебательных процессов особое место занимает активно развивающаяся теория многоканальных генераторов различной природы в управляемой динамике механических систем. Важной задачей является создание систем управления, обеспечивающих устойчивое движение объекта по траекториям различного вида. Построенная в работе система имеет инвариантное асимптотически устойчивое многообразие, являющееся поверхностью уровня некоторой функции [1]. Траектории системы не могут пересечь многообразие, что приводит к стабилизации движений системы в его окрестности. В таких системах возникают автоколебания. Работа представляет интерес для траекторных задач в робототехнике [4], при управлении автоколебательными мультивибраторами. В фазовом пространстве системы наблюдается образование устойчивых предельных циклов – траекторий движения точек стопы шагающего движителя [5]. Автоколебательные мультивибраторы относятся к генераторам релаксационного типа, у которых форма генерируемых колебаний резко отличается от синусоидальной.

Постановка задачи. Рассмотрим систему автоколебаний. Модель такого типа можно представить в следующем виде

sol1.wmf (1)

где sol2.wmf Построенная вектор-функция управления

sol3.wmf

должна обеспечить стабилизацию системы по четырем каналам в окрестности многообразия W, определяемого уравнением

sol5.wmf.

Требуемые управления с обратной связью ищутся в виде:

для каналов первой подсистемы

sol6.wmf

для каналов второй подсистемы

sol7.wmf

Далее задача сводится к нахождению управляющих параметров.

Метод решения. Применяя схему вывода [1], получим коэффициенты управления:

для первой подсистемы

sol8.wmf (2)

для второй подсистемы

sol9.wmf (3)

где sol10.wmf

Для этого использовалось следующее условие инвариантности многообразия ?:

sol11.wmf

sol12.wmf

где знаки sol13.wmf либо sol14.wmf берутся перед коэффициентами управляющих функций sol15.wmf, sol16.wmf, в зависимости от того sol17.wmf либо sol18.wmf стоят перед членами первой степени sol19.wmf, sol20.wmf, sol21.wmf, управления.

Таким образом, при выполнении соотношений (2), (3) на управляемые параметры, поверхность W будет являться инвариантным многообразием системы (1).

В частности, управления

sol23.wmf

при sol24.wmf, будут стабилизировать траектории движения в окрестности многообразия W.

Следовательно, поверхность ? является инвариантным асимптотически устойчивым многообразием [3] системы управления (1).

Численное моделирование. В работе рассмотрен ряд таких моделей автоколебательного типа посредствам изменения значений коэффициентов функций управления. Каждый из случаев был проиллюстрирован при различных начальных условиях:

sol26.wmf

Например, при начальных условиях sol27.wmf, sol28.wmf, интегральные трубки в подпространстве первой подсистемы приведены на рис. 1, второй подсистемы – на рис. 2.

По фрагментам численного моделирования, отвечающим различным начальным условиям, в каждой из рассмотренных задач можно оценить время стабилизации траекторий движения. Устойчивые предельные циклы, принадлежащие этим поверхностям, представляют собой замкнутые гладкие кривые по форме, близкой к прямоугольной.

solod1.tiff

Рис. 1. Интегральные трубки в подпространстве sol29.wmf

solod2.tiff

Рис. 2. Интегральные трубки в подпространстве sol30.wmf

Заключение. Получены стабилизирующие управления для решения задач управления нелинейными системами. Результаты проведенных исследований могут быть использованы при проектировании систем управления робототехническими комплексами, при проектировании детектирующих устройств переходных процессов движения по траекториям с участками близкими к прямолинейным [3, 4].


Библиографическая ссылка

Солодовник Н.В., Полянина А.С. К ВОПРОСУ О ПРЕДЕЛЬНОМ ЦИКЛЕ СИСТЕМЫ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ТИПА // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-8. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=18731 (дата обращения: 29.02.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674