Математика-это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени.
В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) описал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди.
Их правильное очертание это не каприз природы, они предопределены математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз». Гранди известен своей работой Floresgeometrici (1728), изучавшей розы – кривые, которые имеют форму лепестков цветка (рис. 1).
Рис. 1. «Розы» Гвидо Гранди
Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные, инженерные задачи в различных отраслях жизни. Нас заинтересовали кривые, заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, логарифмическую спираль, кардиоиду, лемнискату, астроиду, розы Гвидо Гранди. Больше других наше внимание привлекла математическая кривая, похожая на цветок- полярная роза или роза Гвидо Гранди, и мы в своей работе хотим исследовать не только многообразие форм, но и зависимость вида графика от параметров его уравнений.
Розы Гвидо Гранди имеют свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как 
, то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1 [1, 10].
Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трёхлепестковая роза).
Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Обратим внимание на то, что, поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin(3) ≥ 0, решая которое получим область допустимых углов:
.
В силу периодичности функции sin(3) (ее период равен 
) достаточно построить график для углов φ в промежутке 
, а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть 
. Если угол φ изменяется от 0 до 1, то sin(3) изменяется от 0 до 1, и, следовательно, радиус также изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от 
до 
, то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла φ от 0 до 
, точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол φ изменяется в пределах от 
до φ и от 
до 
.
Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением 
. Данная функция периодическая с периодом π. Кроме того, 
, поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.
Рассматриваемая функция на отрезке [0; 
] монотонно возрастает с 0 до 1, а на отрезке [
; 
] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.
Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:
- четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;
- площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна 
.
Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки – центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.
Графики роз Гвидо Гранди для основных уравнений r = n•sin(k•a) и r = n•sin((c/b)•a) представлены на рис. 2 и 3.
Рис. 2. График «розы» r = n•sin(k•a)
Рис. 3. График «розы» r = n•sin((c/b)•a)
Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости различных значений параметров n, k, m, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка [7, 8, 11]. Исследования проводились с целью разработки контента информационно-образовательной среды [5, 4, 6] кафедры ОНД АМТИ, В качестве среды моделирования использовалась система MathCAD [2, 3, 9].
В ходе исследовательской работы была приведена также классификация кривых Гвидо Гранди и описаны их основные свойства. Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат r = n*sin(k*a) + m в зависимости различных значений параметров n, k, m, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричностью получившегося рисунка. Когда мы получали «розы» из четного количества лепестков, рисунок был симметричен относительно начала координат и осей координат. Если мы генерировали цветы из нечётного количества лепестков, то рисунок был симметричен только оси ординат.
В ходе исследовательской работы получено большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения.
Библиографическая ссылка
Демьянко А.В., Горовенко Л.А. ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КРИВЫХ ГВИДО ГРАНДИ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-7. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17610 (дата обращения: 21.11.2024).