Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Эреджепова М.С. 1 Калайчева С.Н. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Долгополова А. Особенности применения методов математического моделирования в экономических исследованиях / А.Ф. Долгополова, Т.А. Гулай, Д.Б. Литвин // Кант: экономика и управление. – 2013. – №1. – С. 62-66.
2. Долгополова А.Ф. Перспективы применения математических методов в экономических исследованиях / А.Ф. Долгополова, Т.А. Гулай, Д.Б. Литвин // Аграрная наука, творчество, рост: сб. науч. тр. – Ставрополь: CтГАУ, 2013. – С. 255-257.
3. Гулай Т.А. Совершенствование профессиональной подготовки экономистов через направленность содержания математического образования / Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин // Аграрная наука, творчество, рост: сб. науч. тр. – Ставрополь: CтГАУ, 2013. – С. 252-254.
4. Гулай Т.А. Использование математических методов для анализа динамических свойств управляемого объекта / Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем: сб. науч. тр. – Ставрополь: CтГАУ, 2012. – С. 167-170.
5. Гулай Т.А. Личностно-ориентированное обучение математики студентов экономических направлений как средство повышения качества обучения / Т.А. Гулай, А.Ф. Долгополова, Д.Б. Литвин // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики: сб. науч. тр. – Ставрополь: CтГАУ, 2013. – С. 28-33.
6. Гулай Т.А. Руководство к решению задач по математическому анализу. Часть 1 / А.Ф. Долгополова, Т.А. Колодяжная // Международный журнал экспериментального образования. – 2011. – №12. – С. 62-63.

Согласно проведенным исследованиям графический метод решения задач линейного программирования основан на геометрической интерпретации данной задачи. Этот метод наиболее прост и нагляден, в отличии от симплекс метода с помощью графического метода мы можем найти одновременно решение как максимума, так и минимума. В современной экономике графический метод решения ЗЛП очень популярен из-за его наглядности. В современных компаниях это метод используется чаще всего для выявления максимального дохода предприятия, а также максимального объема производства. В следующей задаче наглядно продемонстрирован пример использования графического метода в современной экономике.

Компьютерная компания занимается изготовлением мониторов и мышек, но их ресурсы производства ограничены (обшивка, USB провод, материнская плата) (табл. 1).

Необходимо составить план выпуска продукции с учетом имеющихся ресурсов, обеспечивающих наивысшую прибыль.

Выше приведены условия, которые являются экономической постановкой задачи. Теперь же необходимо составить математическую модель задачи.

Таблица 1

Нормы затраты на одну ед. продукции, количество ресурсов, и прибыль от реализации одной единицы продукции

Виды ресурсов

Виды продукции

Количество ресурсов

Монитор

Мышь

Обшивка

3

2

27

USB провод

2

4

28

Материнская плата

2

3

23

Прибыль

4

7

Пусть x и y – количество выпускаемых мониторов и мышек. Тогда следует, что общая прибыль от продажи всей продукции составит Z = 4X + 7Y → max. При этом общий расход обшивки равен 3x + 2y и он не должен быть больше имеющегося запаса 27. Таким образом они ограничиваются 3x + 2y ≤ 27. Так же учитываются ограничения по USB проводу и материнской плате: 2x + 4y ≤ 28, 2x + 3y ≤ 23. Следовательно, если объем больше нуля, то x ≥ 0, y ≥ 0. Тогда математическая модель задачи имеет вид:

Z = 4X + 7Y → max

3x + 2y ≤ 27

2x + 4y ≤ 28

2x + 3y ≤ 23

x ≥ 0, y ≥ 0.

Таким образом, цель данной задачи состоит в том, чтобы найти положительные значения x ≥ 0, y ≥ 0, где Z принимает наивысшее значения.

Для начала составим ОДР, затем найдем Zmax. Начнем решение задачи с геометрического представления ОДР. Уравнение x ≥ 0, y ≥ 0 ограничивают ОДР 1 четвертью. Система уравнений составляет на координатной плоскости xOy некоторую полуплоскость. Найдем полуплоскости на которых выполняются эти уравнения. Для этого нужно просто взять некую произвольную точку, через которую не проходит граничная прямая и проверить, удовлетворяет ли данная точка уравнению. Если данная точка подходит,то это уравнение выполняется на полуплоскости, на которой находится произвольная точка. В обратном случае берется полуплоскость, на которой не находится произвольная точка. Берем в качестве произвольной точки начало координат О (0;0). Обратим внимание, что при построении ОДР систему уравнений удобнее выражать в отрезках.

missing image file

Для данной задачи области допустимых решений – это множество точек многоугольника OIUYT. На рисунке 1 показаны уравнения прямых, а стрелками указаны области, где они выполняются.

Составим геометрическую интерпретацию уравнения Z = 4X + 7Y →max.

Уравнение Z = C1X + C2Y = 4X + 7Y , при значении Z = Z1, то Z1 = 4X + 7Y. Если изменить значение Z, то получим семейство параллельных прямых, называемых линями уровня. C̄ = (С1; С2) перпендикулярен каждой из линий уровня.

missing image file

Вектор C показывает направление наивысшего возрастания уравнения. Перпендикулярно к вектору С нужно провести линию уровня Z = 0. Параллельно перенесем прямую Z = 0 и найдем крайнюю точку, где Z = 4X + 7Y достигает максимума (pис. 2).

missing image file

Рис. 2.

Из-за то, что точка U находится на пересечении прямых 2 и 3, координаты U определяются системой

2x + 4y = 28

2x + 3y = 23

где U (4, 5), Zmax = Z (U)= 4×4 + 7×5 = 51. Этот способ решения задачи называется графическим.

Ответ: необходимо выпускать 4 монитора и 5 мышек, тогда прибыль составит 51 денежных единиц.

Выполнив данную задачу мы можем прийти к выводу, что графический метод прост в использовании, но он не подходит для вычисления больших величин. Графический метод применяется для решения задач, которые имеют две переменные, в отдельных случаях три переменные, но тогда решением задачи будет являться полупространство, находящаяся по одну сторону плоскости. Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.


Библиографическая ссылка

Эреджепова М.С., Калайчева С.Н. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14147 (дата обращения: 02.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074