Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДСТВ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ КАТКА СТУПЕНЧАТОГО БЛОКА

Журавлёв И.В. 1 Рыбалкин Н.А. 1 Попова С.В. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Попова С.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Крон Р.В. Агроинженерия (электронный учебно-методический комплекс) // Международный журнал экспериментального образования. – 2009. – № S4. – С. 6-7.
2. Попова С.В., Крон Р.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Тынянко Н.Н. Комплект рабочих тетрадей по курсу высшей математики для инженерных специальностей // Международный журнал экспериментального образования. – 2009. – № S4. – С. 14-15.
3. Попова С.В., Смирнова Н.Б. О прикладной направленности математики в высшей школе // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: сб. научных статей по материалам Международной науч.-практ. конф. – Ставрополь: АГРУС Ставропольского ГАУ, 2013. – С. 260-264.
4. Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. Математика: учебное пособие // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 11-1. – С. 114-115.
5. Лиханос В.А., Бобрышов А.В., Кожухов А.А. Формирование взаимосвязи общетехнических дисциплин при изучении курса механики // Инновационные технологии современного образования. – 2013. – С. 92-94.
6. Атанов И.В., Капустин И.В., Никитенко Г.В., Скрипкин В.С. Межпредметные связи в учебном процессе высшего учебного заведения // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 6. – С. 355.
7. Крон Р.В., Попова С.В., Долгих Е.В., Смирнова Н.Б. Линейная алгебра: учебное пособие // Международный журнал экспериментального образования. – 2014. – № 11-1. – С. 115.
8. Смирнова Н.Б., Нанаян С.С. Интегрирующая роль математики в современном мире // Культура и общество: история и современность: материалы II Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции / под ред. Колосовой О.Ю., Гударенко Р.Ф., Ряснянской Н.А., Красиковой Е.А. – 2013. – С. 164-167.
9. Котова Т.Н., Хачатурян Р.Е. Формирование профессиональной компетенции студентов технических вузов на основе междисциплинарной интеграции // Сборники конференций НИЦ Социосфера. – 2014. – № 7. – С. 53-57.

Математика всегда была основой точного естествознания, а вместе с механикой является фундаментом всех технических наук, основным инструментом в познании общих закономерностей мироздания.

Теоретическая механика рассматривается с разных точек зрения. С одной стороны – это часть теоретической физики, изучающая математические методы классической механики, альтернативные прямому применению законов Ньютона (так называемая аналитическая механика). С другой стороны – это набор физико-математических методов, облегчающих расчёты механизмов, сооружений и различных конструкций. Её также можно рассматривать как часть естествознания, использующую математические методы, имеющую дело не с самими реальными материальными объектами, а с их моделями.

Моделями теоретической механики являются материальные точки и их системы, абсолютно твёрдые тела и их системы, деформируемые сплошные среды. Эти модели исследуются в таких разделах теоретической механики, как кинематика, статика, динамика. Исследования моделей производятся с помощью таких разделов математики, как векторное исчисление, дифференциальная геометрия, математический анализ, особенно дифференциальные уравнения, вариационное исчисление.

Для описания положения и движения материальных объектов в механической системе используется векторная алгебра: каждый объект задаётся радиус-вектором, а вся механическая система – совокупностью векторов. В дальнейшем положение тела относительно начала отсчета определяется по положению какой-либо его точки, фиксированной в теле, по положениям остальных точек тела относительно этой фиксированной точки и по угловым параметрам ориентации или по матрице ориентации тела относительно абсолютного пространства. Использование матриц приводит к применению законов линейной алгебры. Движение материальной точки наиболее удобно описывать такими вектор-функциями missing image file(законами), которые имеют непрерывные вторые производные по времени, что заставляет применять такой раздел математики, как дифференциальная геометрия, который подразумевает хорошее знание, как геометрии, так и математического анализа.

Рассматривая кинетическую энергию механической системы, необходимо владеть навыками вычисления частных производных функций нескольких переменных, составлять из них матрицы, выделять в записи формул кинетической энергии линейные и квадратичные формы.

В процессе нахождения работы системы сил при действительных линейных перемещениях механической системы задействуется интегральное исчисление (чаще всего вычисляется криволинейный интеграл).

Все выше названные разделы математики в основном задействованы для теоретического описания процессов, на практике чаще используются уже выведенные формулы, как, например, в классической задаче теоретической механики.

Пусть механическая система, изображённая на рисунке, состоит из катков (или катка и подвижного блока) 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней missing image fileм, missing image file м и радиусом инерции относительно оси вращенияmissing image file, блока 4 радиуса missing image fileм и грузов 5 и 6. Тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 - равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскостьmissing image file. Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и один из катков); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости С = 200Н/м.

missing image file

Под действием силы missing image fileН, зависящей от перемещения missing image fileточки её приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М = 1,2 Н∙м сил сопротивления (от трения в подшипниках). Необходимо определить значение линейной скорости missing image fileв тот момент времени, когда перемещение missing image fileстанет равным missing image file м. Все катки, включая и катки, обмотанные нитями, катятся по плоскостям без скольжения.

По условию

missing image file.

Искомую скорость missing image file катка 1 находим с помощью теоремы о Сумме кинетической энергии системы missing image file. Так как движения происходят из состояния покоя, то кинетическая энергия в системе в начале движения missing image file. Кинетическая энергия системы будет равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему в момент, когда система пройдет заданные расстояния.

Кинетическая энергия груза 5 ,движущегося поступательно со скоростью missing image file равна

missing image file.

Кинетическая энергия катка 2, участвующего в плоском движении составит:

missing image file,

где missing image file – угловая скорость катка в этом

движении, показывающая связь криволинейных величин с линейными величинами (выводится с помощью дифференциальной геометрии).

Скорость катка 2 определяется по формуле:

missing image file.

Величина missing image file – момент инерции катка 2.

Следовательно, кинетическую энергию катка 2 можно определить следующим образом:

missing image file.

Кинетическая энергия ступенчатого блока, вращающегося с угловой скоростью

missing image file,

можно установить с помощью формулы: missing image file,

где missing image file – момент инерции ступенчатого шкива 3.

Следовательно,

missing image file.

Кинетическая энергия составит

missing image file.

Находим работу внешних сил, приложенных к системе, при которой груз 5 сместится на расстояние missing image file.

Работа силы missing image file на этом перемещении определяется с помощью интеграла:

missing image file.

Работа силы тяжести груза 5 определим с помощью соотношений в прямоугольном треугольнике с использованием тригонометрических функций углов:

missing image file.

Аналогично определяется работа силы трения груза 5 на наклонную плоскость:

missing image file.

Работы сил missing image fileравны нулю, так как они перпендикулярны перемещению.

Работы сил missing image fileравны нулю, так как они приложены к неподвижной точке.

Работа момента М сил сопротивления, приложенного к ступенчатому блоку, составит:missing image file,

где missing image file раз, тогда А(М) = – 1,2 Дж.

Работа сил упругости пружин missing image file, где

missing image file Ом, тогда missing image fileДж.

Отсюда

missing image file35,4 Дж.

Получим missing image file 35,4 Дж, и окончательно

missing image file = 2,39 м/с.

Окончательно, линейная скорость катка 1будет равна: missing image file = 2,39 м/с.

Решение задачи можно выполнять по определённой схеме, используя соответствующие формулы теоретической механики. Но для более глубокого понимания исследуемого движения механической системы нужно не только знать эти формулы, но и представлять, как они получены, что приводит к необходимости привлечения серьёзного математического аппарата, умению пользоваться им, применять в непривычных сочетаниях.


Библиографическая ссылка

Журавлёв И.В., Рыбалкин Н.А., Попова С.В. ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДСТВ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ КАТКА СТУПЕНЧАТОГО БЛОКА // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14125 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074