Дифференциальное уравнение первого порядка ý = f(x, y) имеет общее решение , которое определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу.
Если переменные х и у правой части дифференциального уравнения рассматривать как координаты точки М(х, у) плоскости хОу, то производная выражает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке М(х, у). Таким образом, дифференциальное уравнение ý = f(x, y) определяет в каждой точке плоскости хОу, принадлежащей области существования функции
, направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, или определяет поле направлений на плоскости хОу.
Изображая направление в каждой точке области существования функции маленькой стрелкой, выходящей из этой точки, можно построить поле направлений дифференциального уравнения, которое дает приближенное представление о расположении интегральных кривых этого уравнения.
Изоклинами дифференциального уравнения ý = f(x, y) называются геометрические места точек плоскости хОу, в которых интегральные кривые уравнения имеют одно и то же направление. Уравнение является уравнением изоклины, соответствующей заданному направлению
, где
– параметр. Придавая
близкие числовые значения, получается достаточно густая сеть изоклин – семейство изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения. Нулевая изоклина
дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения, т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения ý = f(x, y) не определена.
Метод изоклин состоит в следующем:
1. Строится достаточно густая сетка изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаются небольшие отрезки с наклоном k.
2. Начиная из точки (x0, y0), поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0).
Пусть дано уравнение и требуется построить поле направлений и интегральные кривые, определяемые этим уравнением.
Сначала строятся графики изоклин. Уравнение семейства изоклин данного уравнения или
. Изоклины представляют собой семейство квадратичных парабол с осями, совпадающими с осью Ох. Меняя параметр k, получается семейство графиков изоклин, на них строится поле направлений.
При k=0 получается изоклина , во всех точках которой направление поля параллельно оси Ох (Рис. 1).
При k=1 получается изоклина , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол
.
При k=-1 получается изоклина , во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол
.
Рис. 1. Поле направлений уравнения .
Задается определенная точка (x0, y0) и поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. На рис. 2 показаны интегральные кривые, касающиеся поля направлений.
Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.
Рис. 2. Интегральные кривые уравнения .
Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых и как средство эскизного представления интегральных кривых сохраняет свое значение и в нынешнюю эпоху бурного развития вычислительных машин и вычислительных методов.
Библиографическая ссылка
Веретеников А.С., Потапов Д.Н. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ИЗОКЛИН ПРИ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14105 (дата обращения: 17.08.2024).