Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ИЗОКЛИН ПРИ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Веретеников А.С. 1 Потапов Д.Н. 1
1 Самарская государственная сельскохозяйственная академия
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник в 2-х томах. Том 2. – М.: Наука – Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 560 с.
2. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения в задачах и примерах: учебно-методическое пособие. – М.: МГИУ, 2007. – 158 с.

Дифференциальное уравнение первого порядка ý = f(x, y) имеет общее решение missing image file, которое определяет собой семейство интегральных кривых на плоскости хОу.

Если переменные х и у правой части дифференциального уравнения рассматривать как координаты точки М(х, у) плоскости хОу, то производная missing image file выражает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке М(х, у). Таким образом, дифференциальное уравнение ý = f(x, y) определяет в каждой точке плоскости хОу, принадлежащей области существования функции missing image file, направление интегральной кривой, проходящей через эту точку, или определяет поле направлений на плоскости хОу.

Изображая направление в каждой точке области существования функции missing image file маленькой стрелкой, выходящей из этой точки, можно построить поле направлений дифференциального уравнения, которое дает приближенное представление о расположении интегральных кривых этого уравнения.

Изоклинами дифференциального уравнения ý = f(x, y) называются геометрические места точек плоскости хОу, в которых интегральные кривые уравнения имеют одно и то же направление. Уравнение missing image file является уравнением изоклины, соответствующей заданному направлению missing image file, где missing image file – параметр. Придавая missing image file близкие числовые значения, получается достаточно густая сеть изоклин – семейство изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения. Нулевая изоклина missing image file дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения, т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения ý = f(x, y) не определена.

Метод изоклин состоит в следующем:

1. Строится достаточно густая сетка изоклин для различных значений k и на каждой изоклине изображаются небольшие отрезки с наклоном k.

2. Начиная из точки (x0, y0), поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0).

Пусть дано уравнение missing image file и требуется построить поле направлений и интегральные кривые, определяемые этим уравнением.

Сначала строятся графики изоклин. Уравнение семейства изоклин данного уравнения missing image file или missing image file. Изоклины представляют собой семейство квадратичных парабол с осями, совпадающими с осью Ох. Меняя параметр k, получается семейство графиков изоклин, на них строится поле направлений.

При k=0 получается изоклина missing image file, во всех точках которой направление поля параллельно оси Ох (Рис. 1).

При k=1 получается изоклина missing image file, во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол missing image file.

При k=-1 получается изоклина missing image file, во всех точках которой направление поля образует с осью Ох угол missing image file.

missing image file

Рис. 1. Поле направлений уравнения missing image file.

Задается определенная точка (x0, y0) и поводится линия, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. На рис. 2 показаны интегральные кривые, касающиеся поля направлений.

Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.

missing image file

Рис. 2. Интегральные кривые уравнения missing image file.

Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых и как средство эскизного представления интегральных кривых сохраняет свое значение и в нынешнюю эпоху бурного развития вычислительных машин и вычислительных методов.


Библиографическая ссылка

Веретеников А.С., Потапов Д.Н. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ИЗОКЛИН ПРИ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14105 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074