Сетевое издание
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ИНТЕГРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЕЕ УРАВНЕНИЙ

Антонюк Ю.Ю. 1 Гирлин С.К. 1
1 Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского
1. Гирлин С.К. О построении математической теории обучения в системе образования // Проблеми сучасної педагогічної освіти. Сер.: Педагогіка і психологія. - Зб. статей: Вип.8.Ч.2 – Ялта: РВВ КГУ, 2005. – С. 220-228.
2. Гирлин С.К. Лекции по интегральным уравнениям: учеб. пособие для студентов матем. специальностей. – 2-е изд. – Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2014. – 178 с.
3. Гирлин С.К. Моделирование возникающих развивающихся систем // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1987. – № 10. – С. 65-67.
4. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. – М.: Наука, 1983. – 352 с.
5. Справочное пособие по математическому анализу. Ч. 1. Введение в анализ, производная, интеграл // Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г. и др. – Киев: Вища школа, 1978. – 696 с.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984. – 421 с.
7. Girlin S.K., Ivanov V.V. Mathematical Theory of Development. A Course of Lectures: учебное пособие для студентов математических специальностей. – Simferopol: PP “ARIAL”, 2014. – 140 p.
8. Ivanov V.V. Model development and optimization.-Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 1999. – 249 p.
9. Ivanov V.V., Ivanova N.V. Mathematical Models of the Cell and Cell Associated Objects. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 333 p.

Постановка задачи: построить интегральную модель системы образования, учитывающую процессы обучения и самообучения работников и учеников (например, студентов) системы образования, а также непосредственное воздействие внешней среды на эту систему, и найти колебательные решения некоторых уравнений этой модели.

Актуальность поставленной задачи. Повышение эффективности и качества получения среднего и высшего образования всегда были и остаются актуальными вопросами теории и практики педагогики. Практика успешного применения математической теории развивающихся систем при моделировании экономических, технических, биологических и др. систем подсказывает возможность применения полученных результатов и для моделирования задач управления качеством получаемого образования, в частности обучения и самообучения студентов.

Анализ исследований и публикаций. Впервые уравнения академика В.М. Глушкова, моделирующие динамику развивающейся системы (РС) [2,4,7-9], применялись для описания функционирования учебного заведения или любой системы образования в [8, с.234,235]. В предложенной там модели часть ранее созданных в единицу времени рабочих мест работников учебного заведения по новейшей технологии (в качестве показателя эффективности которой принимается ее производительность или удельная относительная скорость) воссоздает в единицу времени новые рабочие места работников учебного заведения, другие их части используются: 1) для создания самой вышеуказанной технологии, 2) для создания других новейших технологий, применяемых для осуществления выпуска в единицу времени закончивших полный образовательный курс (дипломированных специалистов), 3) для осуществления главной (внешней) функции учебного заведения – выпуска в единицу времени дипломированных специалистов. Эта модель с заданной начальной предысторией предусматривает сворачивание устаревших технологий, применяемых работниками учебного заведения, однако в ней никак не учитывается непосредственное воздействие на деятельность учебного заведения внешних (для рассматриваемого процесса) факторов и не рассматриваются важнейшие вопросы получения образования, связанные с качеством (или эффективностью) подготовки дипломированных специалистов и сворачиванием устаревших технологий, применяемых учениками учебного заведения при самостоятельном усвоении переданных им знаний. В [1] была предпринята попытка построить математическую теорию обучения в системе образования с учетом вышеизложенных вопросов качества подготовки дипломированных специалистов (для чего понадобилось вводить понятие нового рабочего места не только для работников, но и для учеников учебного заведения) и влияния внешней среды. Заметим, что в [4, с. 112-122] и [9, с. 262-266] были выявлены колебательные и волновые процессы динамики РС, колебательные режимы в случае нелинейного вида модельных функций, найдены солитонные решения уравнений модели РС. Однако в исследуемых уравнениях не учитывалось непосредственное воздействие внешней среды на РС. Поэтому естественно возникают постановки более общих задач (в частности, поставленной выше).

Цель статьи состоит в решении поставленной выше задачи.

Изложение основного материала. Под рабочим местом (РМ) работника системы образования (СО) или студента будем понимать совокупность трудовых (учебных) функций, для выполнения которых на протяжении любого данного календарного периода необходима трудовая (учебная) деятельность одного работника СО или студента в течение полного (установленного законом) рабочего (учебного) времени за этот период, причем совокупность этих функций берется вместе с соответствующим обеспечением этих функций – материальным, энергетическим и информационным. Главным является понятие функции, выполняемой на РМ, а не его расположение в пространстве. Основной характеристикой РМ является показатель эффективности выполнения возложенных на него функций.

Рассмотрев группу работников СО, как развивающуюся систему (РС) [2,4,7-9], выделим две подсистемы: подсистему самосовершенствования А, в которой частью РМ работников СО создаются новые, более эффективные РМ работников СО (в результате самообучения), и подсистему B, в которой другой частью РМ работников СО выполняется внешняя функция системы – обучение студентов (при этом создаются РМ студентов). Каждой единице РМ работников СО (усредненной за единицу времени), появившейся в момент времени missing image file, поставим в соответствие в момент времени missing image file, два показателя ее эффективности (квалификации или технологии): функции missing image file и missing image file, характеризующие умения и способности единицы РМ работников СО, появившейся в момент missing image file, в единицу времени, начиная с момента missing image file, производить в результате самообучения и обучения соответственно новые РМ работников СО и новые РМ студентов. Новыми РМ работников СО или студентов называются здесь такие РМ, для которых их показатели эффективности missing image file и missing image file, missing image file, не убывают с ростом missing image file и не возрастают с ростом missing image file (например, возрастание по missing image file функции missing image file означает, что вследствие применения новых технологий самообучения РМ работников СО, появившиеся позже момента missing image file, обладают более высоким показателем эффективности по сравнению с РМ, появившимися в момент missing image file, а убывание по missing image file означает, что вследствие научно-технического прогресса РМ, появившиеся в момент missing image file, с течением времени missing image file обладают все более низким показателем эффективности, т.е. технологически устаревают). Обозначим через missing image file максимальный момент времени, ранее которого появившиеся в СО РМ работников СО не участвуют в производстве новых РМ в момент времени missing image file, т.е. missing image file– временная граница ликвидации устаревших РМ в подсистеме А, начиная с момента missing image file. Аналогично рассмотрим группу студентов как РС, в которой подсистемы А и B совпадают, так как новые более эффективные РМ студентов, появившиеся в результате самообучения студентов, и являются внешней функцией системы. Каждой единице РМ студентов (усредненной за единицу времени), появившейся в момент времени missing image file, поставим в соответствие в момент времени missing image file, показатель ее эффективности (квалификации или технологии) – функцию missing image file, характеризующую умения и способности единицы РМ студентов, появившейся в момент missing image file, в единицу времени, начиная с момента missing image file, производить в результате самообучения новые РМ студентов. Предлагаемые в работе уравнения, описывающие процесс самообучения студентов, являются более общими по сравнению с предложенными в [8], так как с добавлением в уравнения правых частей missing image file появляется возможность учета непосредственного воздействия внешних для рассматриваемого процесса факторов (например, в результате поступления извне нового более производительного информационного обеспечения процесса обучения появляются новые более эффективные РМ работников СО и студентов соответственно); кроме того, благодаря введению распределительной функции missing image file возможны постановки новых оптимизационных задач [2, с. 119-169]. Уравнения предлагаемой модели (их можно вывести аналогично [1]) имеют вид:

missing image file

missing image filemissing image file

missing image file missing image file missing image file

missing image file

на начальном отрезке missing image file предполагается заданной начальная предыстория: функцию missing image filemissing image file считаем заданной (известную на предыстории функцию обозначаем той же буквой с индексом «0»).

1. Положив

missing image file missing image file

рассмотрим следующие уравнения модели:

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file missing image file (1)

где missing image file – скорость поступления извне внешнего ресурса в момент missing image file в СO, missing image file – скорость появления нового продукта первого рода (новых РМ работников СО) в момент времени missing image file, выполняющего внутренние функции системы в подсистеме А; x(missing image file) и (1-x(missing image file)) – относительные доли missing image file, поступающие в подсистемы A и B соответственно; missing image file – доля продуктов missing image file, идущих в момент missing image file на воссоздание missing image file; missing image file – показатель эффективности создания продуктов, выполняющих внутренние функции системы: количество продуктов missing image file, создаваемых в единицу времени в расчете на единицу продуктов missing image file, missing image file ; missing image file – временная граница ликвидации устаревших технологий создания продуктов первого и второго рода (другими словами, [missing image file,missing image file] – временной промежуток, на котором создаются продукты первого и второго рода, используемые в момент времени missing image file, причем missing image file; missing image file – скорость создания нового продукта второго рода (новых РМ студентов, появившихся в результате их обучения работниками СО) в момент времени missing image file; missing image file – показатель эффективности создания продуктов, выполняющих внешние функции системы: количество продуктов missing image file, создаваемых в единицу времени в расчете на единицу продуктов типа missing image file,missing image file missing image file – скорость производства в момент t продуктов как первого, так и второго рода (эта скорость характеризует производственный потенциал системы).

Будем считать, что процесс прогнозирования начинается с момента missing image file, причем для missing image file известна так называемая начальная предыстория или начальный ресурс системы: на этом временном отрезке предыстории missing image file – заданная функция. Возможен случай отсутствия начальной предыстории, в этом случае РС называется возникающей [3].

Положим y=missing image file. Из уравнений (1) получаем

missing image file

missing image file

Обозначив missing image file, получаем

missing image file,

missing image file

missing image file

Вынужденные колебания здесь определяются поведением функций missing image filemissing image fileи missing image file: если эти функции, определенные на общем множестве, являются периодическими функциями с соизмеримыми периодами, то m(t), c(t) являются периодическими (периоды missing image file и missing image file функций соответственно missing image file и missing image file соизмеримы, если missing image fileгде missing image file и missing image file – взаимно простые числа, в этом случае число T = qT1 = qT2 есть период функций φ(t) ± f(t) и φ(t)f(t)) [5, с.59, задача 120].

2. Определим собственные детерминированные колебания. Будем считать функции модели достаточное число раз дифференцируемыми по переменной missing image file, заданными положительные константы α, β и функции missing image file (в своих областях определений). Зададим функцию missing image file в виде:

missing image file (2)

Тогда из (1) получим дифференциально-разностные уравнения запаздывающего типа [6]:

missing image file

missing image file

missing image filemissing image file)missing image file, missing image file

откуда

missing image filemissing image file, (3)

Если missing image file, то при помощи математической индукции нетрудно показать, что

missing image file,

missing image file missing image file (4)

Если missing image file, то решая на каждом из отрезковmissing image fileзадачу Коши (например, методом Бернулли), получаем с помощью метода математической индукции

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file (5)

Пологая в (4) и (5)

missing image file и missing image file соответственно, получим

missing image filemissing image filemissing image file, если missing image file

а при missing image file

missing image file

missing image file

missing image file

missing image file missing image file

Следовательно, если missing image file будет колебательной функцией, то и missing image file будет колебательной.

3. Рассмотрим аналогично [9, с. 262] случай, когда missing image file missing image file missing image file, где missing image fileи уравнения модели имеют вид:

t = αyt–at (1 – cosω(t – τ))mτdτ + xtft,

missing image filemissing image file missing image file.

Предполагая функции модели достаточное число раз дифференцируемыми по переменной missing image file, все константы и функции missing image fileзаданными в своих областях определений, получаем

missing image file

missing image file

missing image filemissing image file

missing image file

missing image file

Т.о., для missing image file получили обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

missing image filemissing image file

missing image file (6)

с начальными условиями:

missing image file

missing image file

missing image file (7)

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения missing image file имеет вид: missing image file. Корнями последнего уравнения являются числа missing image filemissing image file где missing image file Следовательно, общее решение missing image file однородного уравнения записывается в виде missing image file missing image file и missing image file – const, missing image file

Это означает, что решение уравнения (6) есть довольно общая колебательная функция, зависящая от свободного члена уравнения (6) и начальных условий (7).

Очевидно, полученное на отрезке missing image file решение можно аналогично продолжить на отрезок missing image file, … [ka, (k + 1)a], missing image file

Выводы. Предложена интегральная модель системы образования, учитывающая процессы обучения и самообучения работников образования и студентов, а также непосредственное воздействие на систему образования внешней среды (например, другой системы образования). Получены периодические и колебательные решения дифференциально-разностных модельных уравнений запаздывающего типа. Полученные решения могут быть использованы при решении различных оптимизационных задач [1, с. 119-143]. Заметим, что если положить то получим результаты [4, с. 112-113] и [9, с. 262]. Для дальнейших исследований представляет интерес аналогичное [4, с.114-122] и [9, с. 263-266] изучение и других случаев колебательных режимов.


Библиографическая ссылка

Антонюк Ю.Ю., Гирлин С.К. ИНТЕГРАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЕЕ УРАВНЕНИЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4. ;
URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=14103 (дата обращения: 07.12.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074