Одним из направлений исследований теории дифференциальных уравнений и их систем было изучение нелинейных динамических систем, позволяющее рассматривать с общих позиций системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. С геометрической точки зрения динамическая система это однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (или полугруппа) преобразований фазового метрического пространства в себя. Непрерывные группы также называются потоками, а дискретные – отображениями или каскадами [2, 3]. Активное применение геометрического подхода к анализу динамических систем дифференциальных уравнений началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла (пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек и хаотическую динамику, не разрушающуюся при малых возмущениях системы). В дальнейшем были найдены и другие хаотические динамические системы, описываемые дискретными отображениями и обладающие странными аттракторами, такие, например, как логистическое отображение, отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса и др.
Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения – отображения Пуанкаре (А. Пуанкаре (1854–1912 гг.), то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца [4], в которой впервые было обнаружено нерегулярное поведение траекторий, столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей.
Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века. А результаты недавних работ позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. Сложилось впечатление, что само определение сложного (нерегулярного) аттрактора непрерывной динамической системы как странного аттрактора, а также такие традиционные разделы хаотической динамики, как вычисление размерности аттрактора, сценарии перехода к хаосу и критерии динамического хаоса требуют значительной корректировки. Тем не менее использование геометрического аппарата дает наглядное представление о поведении решений систем в зависимости от значений параметра. Остановимся на рассмотрении более простого случая однопараметрических локальных бифуркаций.
Целями нашего исследования являются: анализ устойчивости систем дифференциальных уравнений по отношению к произвольным малым возмущениям параметров таких систем; исследование процесса изменения фазовых портретов систем дифференциальных уравнений при изменении параметров этих систем.
Нами ставились следующие задачи:
1) изучение однопараметрических локальных бифуркаций;
2) проведение анализа решений соответствующих им систем в зависимости от значений параметра;
3) получение графического представления результатов исследования.
Структурная устойчивость систем дифференциальных уравнений является устойчивостью по отношению к произвольным малым гладким возмущениям векторных полей. Однако системы дифференциальных уравнений, получающиеся из различных приложений, всегда содержат то или иное число системных параметров. Поэтому с точки зрения приложений более естественным и интересным является анализ устойчивости систем дифференциальных уравнений по отношению к более узкому классу возмущений – произвольным малым возмущениям параметров таких систем. В этом случае само пространство параметров будем интерпретировать как конечномерное пространство систем дифференциальных уравнений некоторого специального вида, а возмущение конкретной системы – как некоторое возмущение ее параметров.
Теория бифуркаций систем дифференциальных уравнений, берущая свое начало в работах А. Пуанкаре, описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов систем дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении их параметров. Значения параметров, при которых происходят эти качественные изменения фазовых портретов, называются бифуркационными значениями или точками бифуркации.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать гладкое семейство нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями F, зависящими от координат векторов системных параметров μ, лежащих в области L пространства 
.
Пусть значение 
является бифуркационным значением параметра 
, то есть именно при этом значении параметра качественно меняется фазовый портрет семейства систем дифференциальных уравнений (1). Наиболее интересными с точки зрения различных приложений являются бифуркации устойчивых предельных множеств (аттракторов), так как они приводят к изменениям наблюдаемых в реальных экспериментах установившихся режимов. Бифуркации аттракторов принято разделять на мягкие (внутренние) и жесткие (кризисы аттракторов). Мягкие бифуркации приводят к топологическим изменениям самих аттракторов, но не приводят к их исчезновению. Жесткие бифуркации приводят к исчезновению аттракторов [3]. В дальнейшем будут рассмотрены однопараметрические локальные бифуркации устойчивых особых точек.
Пусть системы дифференциальных уравнений из (1) при всех значениях параметра 
, лежащих в некоторой окрестности U бифуркационного значения параметра 
, имеют своими решениями особые точки. Особая точка (положение равновесия) 
однопараметрического семейства (1) удовлетворяет условию 
. Линеаризуя систему (1) в окрестности особой точки, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящую от параметра 
:
(2)
где 
. Вектор 
является решением системы (2) для всех 
. Введем обозначение: положим
.
Бифуркации, связанные с потерей устойчивости особой точки семейства (1), определяются исключительно теми координатами системы (2), которые соответствуют собственным значениям матрицы 
, лежащим на мнимой оси. Систему уравнений, записанную в этих координатах, называют нормальной формой семейства (1) в окрестности особой точки. Наиболее распространены следующие типы бифуркаций.
1. Транскритическая бифуркация (бифуркация обмена устойчивостью)
Нормальная форма бифуркации имеет вид 
(или 
). В этом случае оба стационарные решения 
и 
сосуществуют вместе и обмениваются устойчивостью при переходе параметра через бифуркационное значение 
(рис.1 а).
2. Седло-узловая бифуркация
Нормальная форма седло-узловой бифуркации имеет вид 
. Это уравнение при 
имеет два стационарных решения 
, одно из которых является асимптотически устойчивым, а другое – нет. При 
оба решения сливаются в одно стационарное решение 
, являющееся асимптотически устойчивым для траекторий, начинающихся слева от нуля и неустойчивым для траекторий, начинающихся справа от нуля. При 
уравнение не имеет особых точек, т.е. рассмотренная бифуркация является кризисом (рис.1 б). Одновременное рождение устойчивой и неустойчивой особых точек происходит в случае обратной седло-узловой бифуркации с нормальной формой 
(рис. 1 в).
Рис. 1
3. Бифуркация типа вилки
Существуют два вида этой бифуркации: 
– надкритическая и 
– подкритическая. Для надкритической бифуркации стационарные решения имеют вид: 
и 
. Устойчивое стационарное решение, становясь неустойчивым, порождает два других устойчивых стационарных решения (рис.2 а).
Рис. 2
На рис. 2б изображен один устойчивый узел до бифуркации.
В случае подкритической бифуркации стационарные решения имеют вид: 
и 
. Поэтому устойчивое стационарное решение (узел) становится неустойчивым (седлом, седло-узлом, седло-фокусом). Бифуркация является кризисом.
4. Бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения цикла)
Данный тип бифуркации соответствует случаю, когда при возрастании значений параметра µ два комплексно сопряженных собственных значения 
матрицы 
переходят при 
слева направо через мнимую ось комплексной плоскости, а все остальные собственные значения имеют при этом отрицательные вещественные части [1, 5].
Существует два вида бифуркации Андронова-Хопфа: суперкритическая (или мягкая) бифуркация и субкритическая (или жесткая) бифуркация. Нормальная форма суперкритической бифуркации имеет вид
,
где 
или более подробно в виде
(3)
Решение системы (3) можно записать в виде
где функция 
удовлетворяет уравнению 
При 
система имеет устойчивое решение – фокус. Программная реализация данной бифуркации осуществлена в Math Cad 14 (рис. 3).
При 
помимо неустойчивого фокуса – стационарного решения 
система (3) имеет еще другое решение
,
траекторией которого на фазовой плоскости является предельный цикл – окружность радиуса 
. С помощью Math Cad 14 получим фазовый портрет для этого случая (рис. 4).
Рис. 3
Рис. 4
Субкритическая (жесткая) бифуркация Андронова-Хопфа имеет нормальную форму
Решение можно записать в виде:
,
где функция 
удовлетворяет уравнению 
. Используя возможности Math Cad 14 построим фазовые портреты субкритической бифуркации для случаев 
и 
.
Бифуркация Андронова-Хопфа играет важную роль в теории нелинейных динамических систем как самостоятельный математический объект, присутствующий практически во всех классических системах с нерегулярной динамикой, например, таких как системы Лоренца, Ресслера [5].