Теория массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Целью ее исследования является рациональный выбор структуры системы обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из нее, длительность ожидания и длины очередей. Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений [1,2].
А.Я. Хинчин – первый советский математик, который разработал теорию потока однородных событий, которые легли в основу теории массового обслуживания. Первыми задачами данной теории стало упрощение работы телефонной станции и определение заранее качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств (А. Эрланг, 1908-1922 г.).
Данная теория имеет широкое применение в математическом моделировании экономических, физических, медицинских задач. В частности, в экономике с помощью неё строятся модели таких предприятий, в работе которых предполагается наличие очереди, время ожидания и т.д. Например, как систему массового обслуживания можно рассматривать работу клиентского зала банка, работу салона красоты, работу кассового зала супермаркета и т.д. По рассчитанным показателям можно делать выводы об эффективности работы предприятия, делать прогнозы на будущее, решать возможные проблемы.
В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. Нахождение подхода и завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей, а на возврат неудовлетворенного клиента необходимо потратить в 25 раз больше средств. Использование теории массового обслуживания позволяет фирме сохранить своих клиентов и избежать таких неприятностей. Система массового обслуживания представляет собой теоретические основы эффективного конструирования и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач [3,4].
В данной статье построена математическая модель кофейни, как системы массового обслуживания.
Решим задачу: В кофейне принимаются заказы по двум кассам. Среднее количество заказов, поступающих в час – 80 чел. Среднее время оформления заказа – 1 мин. Определить показатели системы массового обслуживания.
Здесь n=2, λ = 80 в час, t = 1 мин.
1. Интенсивность нагрузки: 
Интенсивность нагрузки ρ=80 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
При анализе данного параметра можно сделать выводы о необходимости найма на работу новых сотрудников и введения в зал ещё одной работающей кассы. Это снизит интенсивность работы [6].
2. Время обслуживания (час):
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Следовательно, 0,03% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 0 мин.Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
, 
заняты 2 канала:
, 
4. Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).
Значит, 98% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому [5]:
Относительная пропускная способность:
Следовательно, 2% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
При анализе выше указанных параметров можно делать выводы о скорости износа оборудования и об оптимальном числе сотрудников, находящихся в зале.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).
канала
Среднее число простаивающих каналов.
канала
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).
заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО ( час.).
10. Среднее время простоя канала ( час.).
11. Среднее число заявок, находящихся в очереди.
12. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди) ( час.).
13. Среднее число обслуживаемых заявок
14. Среднее число заявок в системе (т.е. заявки, которые уже обслуживаются, и те, которые еще стоят в очереди и ждут обслуживания).
15. Среднее время пребывания заявки в СМО.
Число заявок, получивших отказ в течение часа:
заявок в час.
Номинальная производительность СМО:
заявок в час.
Фактическая производительность СМО:
от номинальной производительности.
Вывод: В данной статье была рассмотрена задача по теории массового обслуживания. Рассчитали все основные показатели системы массового обслуживания. Данную задачу можно применять на практике.
Если судить по полученным данным о рентабельности кофейни, то на данный момент она вполне рентабельна. Однако, учитывая интенсивность потока клиентов и почти непрерывную работу данного предприятия, можно сделать вывод о достаточно быстром износе оборудования кофейни. Это и оформление зала, и кухонный инвентарь и т.д. Кроме того, явно присутствует необходимость в увеличении числа сотрудников, если учесть число обслуживаемых в минуту клиентов.
Для решения данных проблем, например, можно открыть ещё одну кофейню данной сети в том же районе. Это снизит интенсивность потока, хотя и уменьшит прибыль данного предприятия.