Раздел математики, базирующийся на математических методах сбора, систематизации, обработки, интерпретации статистических данных, а также на использовании их для научных или практических выводов называетсяматематической статистикой. В свою очередь, правила и методы математической статистики основаны на теории вероятностей, которая позволяет оценить точность и надежность выводов, получаемых после обработки статистического материала. В то же время под статистическими данными понимают сведения о числе объектов в более или менее обширной совокупности, которым присущи те или иные признаки.
В математической статистике по типу решаемых задач принято выделять три раздела.
Рис. 1. Классификация математической статистики по типу решаемых задач
В зависимости от видов обрабатываемых статистических данных математическая статистика делится на четыре направления.
Рис. 2. Классификация математической статистики по видам обрабатываемых данных
Как наука математическая статистика зарождается с работ немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), которыйисследовал и обосновал метод наименьших квадратов (1795 г.),основываясь на теории вероятностей. Крупный вклад в математическую статистику в конце XIX в. – начале ХХ в. внесли английские исследователи К.Пирсон (1857-1936) и Р.А. Фишер (1890-1962), а заложили основы непараметрической статистики советские математики: академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР Н.В.Смирнов (1900-1966).
Стоит отметить, что знания в области математической статистики расширяются и в настоящее время. Так, широко применяются следующие методы обработки данных:
Доказательные методы опираются на вероятностные модели соответствующих реальных явлений и процессов, а именно на модели поведения потребителей, возникновения рисков, функционирования технологического оборудования, получения результатов эксперимента.
Невероятностные методы обработки данных являются поисковыми. Они используются только при предварительном анализе данных, так как с их помощью невозможно оценить точность и надежность выводов, полученных на основании ограниченного статистического материала.
Специфические методы. С помощью данных методов статистического анализа проводится анализ точности и стабильности технологических процессов, а также статистическая оценка качества. К специфическим методам относят методы статистического приемочного контроля над качеством произведенной продукции, статистического регулирования технологических процессов и оценки надежности.
Вероятностные и статистические методы применяются там, где есть возможность построить и обосновать вероятностную модель исследуемого явления или процесса. Их применение обязательно в случаях, когда сделанные на основе выборочных данных выводы переносятся на всю совокупность (например, с выборки на всю партию продукции).
Вероятностно-статистический метод принятия решений включает 3 этапа:
1. переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме (построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля)
2. проведение вычислений и, как следствие, получение выводов чисто математическими средствами на основе вероятностной модели;
3. использование математико-статистических выводов в реальной ситуации и принятие в соответствии с этим конкретного решения (например, соответствие или несоответствие качества продукции установленным требованиям, необходимость наладки технологического процесса).
Методы математической статистики широко распространены в экономике, в частности, в таких сферах, как кредитование, страхование, инвестирование. Рассмотрим некоторые примеры, демонстрирующие возможности математической статистики.
При принятии решения о выдаче кредита заёмщику, банку необходимопроанализировать статистическую информацию, а именно кредитную историю самого человека, способность заёмщика погасить кредит в срок и тому подобное. Этот анализ и производится с помощью методов теории вероятностей и математической статистики (вычисление вероятности, вычисление среднего, дисперсии, математического ожидания).
К примеру Банковская организация выдает займы по 1 млн руб. сроком на 1 год. Вероятность невозврата кредита – 1 %. Какую процентную ставку должен установить банк, чтобы в среднем иметь прибыль?
Обозначим ставку, измеряемую в долях от единицы, через p (соответствует 100 %). Прибыль банка будет величиной случайной, поскольку кредит вместе с процентами клиент может вернуть, а может и не вернуть. Закон распределения этой случайной величины следующий:
|
p |
–1 |
|
0.99 |
0.01 |
Здесь первый столбец соответствует ситуации, когда клиент возвращает кредит с процентами и, таким образом, банк имеет доход p млн.руб. Вероятность возврата – 99 %. Оставшийся 1 % приходится на риск невозврата и тогда банк теряет 1 млн руб., что и обозначено как доход равный -1. Математическое ожидание случайной величины с таким законом распределения есть 0,99 p – 0,01. Смысл математического ожидания состоит в том, что при большом числе выдаваемых кредитов математическое ожидание дохода примерно равно среднему. Таким образом, решая неравенство 0,99p–0,01>0, имеем p > 1/99, то есть ставка должна быть больше чем 100/99 % (несколько больше, чем 1 %).
Разработка стратегии работы страховых компаний также базируется на применении методов математической статистики. Страховая компания анализирует статистические данные по наступлению различных страховых случаев и условий, в которых они наступили. Таким образом, величина страхового взноса определяется путём оценки вероятности наступления страхового случая у страхователя.
Аналогичная ситуация складывается и с инвестициями.
Банк выдает кредиты 5 млн руб. под 10 % сроком на 1 год. Риск невозврата кредита оценивается как 1 %. Для уменьшения этого риска банк приобретает страховой полис на каждый кредит на S млн. руб., оплачивая страховой компании страховую премию в 2 %. Оценить среднюю прибыль банка с одного кредита, если S=1, 3, 5 (страховой полис на 1 млн руб., 3 млн руб., 5 млн руб.).
Рассмотрим случайную величину D = –0,02S+X. Первое слагаемое определяет расходы банка на страховой полис, а второе – это случайная величина – сумма доходов и потерь банка, имеющая закон распределения:
|
0,5 млн руб. |
S – 5 млн руб. |
|
0,99 |
0,01 |
Для определения средней прибыли вычислим математическое ожидание:
Если приобретен страховой полис на 1 млн руб., то средняя прибыль составит: 0,435 млн руб., если приобретен страховой полис на 3 млн руб., то средняя прибыль составит: 0,415 млн руб., если приобретен страховой полис на 5 млн руб., то средняя прибыль составит: 0,395 млн руб.
Разумеется, приведенными здесь примерами не исчерпываются все возможности использования теории вероятности и математической статистики для решения задач экономического характера.
Таким образом, статистика направлена на решение практических задач, применяемых в реальной жизни, исходя из чего развиваются и обосновываются новые методы анализа статистических данных. Теория вероятностей и математическая статистика широко применяются во многих смежных науках, в частности, в экономике. С помощью статистических методов проводится анализ точности и стабильности технологических процессов, а также статистическая оценка качества.