Интеграл появился как ответ на необходимость нахождения объемов и площадей. Впервые такими исчислениями задались еще математики древней Греции. В наше время интеграл применяется в различных сферах, в работе авторы рассмотрели применение определенного интеграла для решения экономических задач на нахождение производительности труда, объема продукции и амортизационных отчислений.
Интегрирование – это действие обратное дифференцированию. И. Барроу впервые увидел связь между интегрированием и дифференцирования. Позже Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, вывели формулу, которую мы знаем под названием Ньютона-Лейбница:
.
Это событие ознаменовало собой появление общего метода интегрального и дифференциального исчислений. Русский ученый П.Л. Чебышев доказал, что существуют интегралы, которые нельзя выразить через элементарные функции. Строгое изложение теории интегралов появилось благодаря работам О. Коши.
Сам символ интеграла – ∫ был введен Лейбницем в 1675 г. Он представляет собой измененную латинскую букву S, которая является первой буквой в слове сумма. Термин интеграл придумал Я. Бернулли в 1690 г. Вероятнее всего, оно происходит от латинского слова «integero», которое в переводе означает «приводить в прежнее состояние, восстанавливать», ведь операция интегрирования словно «восстанавливает» функцию, из которой путем дифференцирования получена подынтегральная функция.
Интеграл – результат сложения бесконечного большого числа бесконечно малых слагаемых, иначе говоря, имеется в виду разбиение области интегрирования, которая является отрезком, на множество бесконечно малых отрезков, а также сумма произведений значения функции аргумента, который принадлежит каждому отрезку, и длины соответствующего бесконечно малого отрезка области интегрирования, в пределе, при бесконечно маленьком разбиении:
.
Неопределенный интеграл от функции f(x) – это совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X
.
Определенный интеграл, в геометрическом смысле, численно равен площади фигуры, которая ограничена осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции f(x), формула определенного интеграла:
.
Рассмотрим решение различных экономических задач.
Допустим, что фабрика выпускает 31000 машин в год, а затем ежегодно увеличивает производство на 55 машин. Необходимо найти сумму амортизационных отчислений за десять лет, если норма амортизации равна 10 %. Выразим выпуск машин формулой:
,
где х – число лет. Тогда объем выпущенных за 10 лет машин будет равен:
.
Следовательно, амортизационная сумма равна 155055 (руб.), так как:
Для следующего примера рассмотрим ситуацию, в которой для строительства фабрики задается непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = –t2+20t+5 (у.е.) на 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5 %. Необходимо найти дисконтированную стоимость этого потока. Согласно формуле потока
имеем
.
Заменим переменную:
s= –0,05t, t= –20s, dt= –20ds.
При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s0= 0, s1= –1. Таким образом, получаем:
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая, что
u=–400s2 – 400s+ 5, du = (–800s– 400)ds, dv=esds, v =еs.
Следовательно:
.
В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко второму слагаемому применим еще раз формулу интегрирования по частям, полагая
u =800s+ 400, du =800ds.
Имеем
=
=20(5 – 5е – 1 +400 + (800 – 400)e – 1 – 800 + +800е – 1) = 20(1195е – 1 – 395).
Окончательно получим поток равный 892 (у.е.).
Решим задачи связанные с объемом продукции.
Найдем объем продукции выпущенной в течение года, считая количество рабочих дней равным 240, если производительность труда рабочего выражается функцией
;
где x – производительность труда за 1 ч. Объем продукции, выпускаемой в течение смены, выражается интегралом:
(шт.).
Следовательно, объем продукции, выпускаемой за год равен:
(шт.).
На складе запас товара составляет 100 единиц, товар, поступающий ежедневно, выражается функцией:
,
где x – количество дней. Обозначаем количество товара через W. Через 40 дней количество товара будет равно:
(шт.).
Конечно, экономика далеко не единственная сфера применения интегралов, но решение экономических задач с помощью определенного интеграла помогло нам осознать важность применения метода интегральных исчислений. Приведенные примеры только подчеркивают необходимость применения математического аппарата для решения задач с экономическим содержанием