Универсальная формула определения подвижности кинематической цепи, выведенная Добровольским в 1936 г. [1], имеет вид
W = (6 – m)n – ∑(k – m)pk, (1)
где W – подвижность механической цепи, n – число подвижных звеньев цепи, k – класс кинематических пар, k = 1, 2, 3, 4, 5 (пары 5 класса – одноподвижные).
В формуле (1) Добровольским введен параметр m в виде целого положительного числа, которое определяет количество общих накладываемых на всю механическую систему связей. Этот параметр может изменяться от m = 0 до m = 4 и быть только целочисленным и положительным. По предложению академика Артоболевского И.И. в зависимости от m механизмы различаются по семействам. Всего семейств механизмов пять: нулевое семейство (m = 0), первое (m = 1), второе (m = 2), третье (m = 3), и четвертое семейство (m = 4).
Формула подвижности (1) составлена для случая, когда движение звеньев рассматривается относительно неподвижного звена – стойки.
В случае, когда стойка не определена и входит в общее число звеньев, известен метод синтеза свободных замкнутых цепей, предложенный М. Грюблером [2, 3], который применяется при проектировании плоских рычажных механизмов. Подвижность таких цепей записана Грюблером в виде
3n – 2p5 = 4 (2)
здесь n – общее число звеньев, соотносится с n по Добровольскому как n = n + 1.
Четверка, стоящая в правой части формулы (2) определяет возможность трех движений всей цепи в плоском пространстве ППВ и дополнительное независимое относительное движение звеньев цепи. Остановка любого из звеньев свободной замкнутой цепи организует одноподвижный механизм.
Описанный выше метод Грюблера может быть развит на механизмы всех пяти семейств. Для этого, рассматриваемую кинематическую цепь освободим от неподвижной стойки, т.е. включим её – стойку в состав звеньев формулы (1). Тогда изменится число звеньев (n), а именно их станет (n + 1). Цепь станет свободной в пространстве m. Подвижность свободной цепи WC примет вид
(3)
Раскроем в (3) скобки и получим
(4)
откуда с учетом (1) найдем, что
WC = W + (6 – m) (5)
При синтезе одноподвижных механизмов, т.е. для кинематических цепей с W = 1, в свободном состоянии эти цепи (5) будут иметь подвижность
WC = 1 + (6 – m) (6)
В зависимости от параметра m формула (6) описывает свободные цепи соответственно нулевого семейства
(7)
первого семейства
(8)
второго семейства
(9)
третьего семейства
(10)
и четвертого семейства
(11)
Таким образом, формулой (5) можно пользоваться как универсальной при определении подвижности свободных замкнутых кинематических цепей любого семейства. Взятый за основу метод Грюблера позволяет при синтезе схем механизмов в качестве неподвижного звена (стойки) использовать любое звено свободной замкнутой цепи.