Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА ПОСРЕДСТВАМ МЕТОДА РЕКФОРДА-ПИСМЕНА

Иванова Е.В. 1 Торшина О.А. 1
1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»
Численные методы демонстрируют собой отдельную математическую область, и используется при программировании различных прикладных задач. При помощи численных методов возможно решение проблем в различных областях человеческой деятельности. Процесс решения сложных задач, представляется в виде последовательных этапов. Сначала рассматривается физическая постановка задачи, в которой разбирается и формулируется задача с точки зрения физического процесса. В этом случае, надо ознакомиться с рассматриваемой проблемой и с данной областью знаний. Затем переходим к математической постановке задачи. На данной стадии необходимо перефразировать физическую постановку задачи на математическую модель, то есть представить в виде формул, интегралов, различных систем уравнений и т.д. В математической модели должны отражаться основные законы физического процесса. Для некоторых задач на данной стадии можно остановиться, если задача является простой. Далее идет метод непрерывной математики, на котором проблема рассматривается в общем виде и рассматривается при помощи математических формул, то есть используются не конечные числа, а функции и общие величины. Затем численной решение, решение поставленной задачи представляется в виде конечных математических операций, результаты представлены в виде числовых значений. На этапе алгоритмизации происходит описание действий в виде точного формального описания процесса, алгоритм изображается в виде блок-схемы или другим способом. При программировании осуществляется реализация данной задачи на языке программирования высокого уровня. Затем идет отладка программы, проведение расчетов и анализ результатов. В данной статье рассматривается численное решение математического моделирования теплообмена между струей с высокой температурой и пластиной. В данной статье составляется физическая модель задачи, затем математическая, а после осуществляется переход к численному решению с помощью метода Рекфорда-Писмена.
начально-краевая задача
метод расщепления по пространственным координатам
численные методы
метод прогонки
математическое моделирование
1. Дубровский В.В., Торшина О.А.Дискретность спектра задачи Неймана // Вестник Магнитогорского государственного университета. 2004. № 5. С. 130-131.
2. Кадченко С.И., Торшина О.А., Рязанова Л.С. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Ора – Зоммерфельда // Современные наукоемкие технологии. – 2018. № 8. С. 89-94.
3. Козин Р.Г. Алгоритмы численных методов линейной алгебры и их программная реализация. Москва. 2012. 124 с.
4. Михеев С. Е. Многомерная аппроксимация и интерполяция. С.-Петерб. 2012. 59 с.
5. Михеев С.Е. Численные методы. СПб.: СПбГУ. 2013. 93 с
6. Торшина О.А.К вопросу сложения четных сферических гармоник // Вестник Магнитогорского государственного университета. 2004. № 6. С. 73-77.
7. Торшина О.А.О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости // Вестник Челябинского государственного университета. 2003. Т. 3. № 3. С. 178-191.
8. Торшина О.А. Оценка разности спектральных функций дискретных операторов // Альманах современной науки и образования. № 12-1, 2009. С. 123-125
9. Торшина О.А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. Магнитогорск, 2015.
10. Torshina О.А. Differential operators on the projective plane //Journal of Computational and Engineering Mathematics. 2015. Т. 2. № 4. С. 84-92.

В данной статье будет рассмотреназадача теплообмена между струей с большим показателем температуры и пластиной, внешняя поверхность которой подвержена воздействию двухфазной или однофазной струис начальными данными. Рассмотрим данную задачу с физической стороны[1]. Схема взаимодействия сверх высокотемпературной струи с преградой представлена на рисунке 1, где x – ось абсцисс, y– ось ординат; Lx – ширина пластины; Ly– толщина пластины; lg - длина воздействия струи; Qg – поток с высокой температурой; A, B, C, D, E– граничные точки. Сконструируем математическую модель теплообмена между струейc высокой температурой и пластиной [3]. Произведем числовое решение данной задачи.

При решении данной задачи не будем принимать во внимание:

1) допустимые процессы окисления и плавления материала преграды активными компонентами газового потока;

2) радиационная составляющая в теплообмен;

3) вложение радиационной составляющей в теплообмене на внешние плоскости;

4) характеристики теплофизике (λ, ρ, с), которые являются постоянными.

ооооооооооооооооооооооооооо

Рисунок 1 Область решения задачи

Математическое моделированиевключает в свой состав двумерное нестационарное уравнение теплопроводности, с соответствующими начальными и предельными критериями [5]

, (1)

с первоначальным критерием:

(2)

и предельными критериями:

– критерий теплообмена газового потока с поверхностью конструкционного материала:

(3)

– критерий симметрии на вертикальной оси ординат:

(4)

– критерий теплообмена с воздухом на боковой плоскости:

(5)

– критерий теплообмена с воздухом на противоположной стороне пластины:

 

(6)

– критерийтеплообмена с воздухом на нагреваемой плоскости [6]:

(7)

где ρ – плотность; T - температура; t – время; α – коэффициент теплообмена; с – коэффициент удельной теплоемкости; λ – коэффициент теплопроводности.

При числовом решении задачи (1) – (7) обратимся к методуРекфорда – Писмена [4]. Для аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным методом детерминируем пространственно-временную сетку [2] с координатами; , , где – шаг по времени; – шаги на плоскости; , и . В конечном итоге,вся проектируемая область покрывается сеткой (рис.2).

Рисунок 2 Разностная сетка области решения

Дискретизацию уравнения (1) реализуем при помощи локально-одномерной схемы А.А. Самарского, которая характеризуется свойством суммарной аппроксимации и является полностью устойчивой. Введем обозначения: . Основная идея метода [9] сводиться к тому, что шаг по времени изменяется в два этапа. На промежуточном временном шаге выполняется дискретизация двумерного уравнения (1) по направлению оси абсцисс и следовательно, получается одномерное уравнение. После этого сновапроизводимдискретизацию уравнения (1), но уже в направлении оси ординат. При решении полученных одномерныхуравнений, установим поле температуры на шаге по времени [6].

При использовании неявной схемы на каждом полушаге по времени, отобразим уравнение (1) в виде:

(8)

(9)

Аппроксимируя предельными критериями (2) - (7) получим:

(10)

(11)

(12)

(13)

Разностные уравнения (8), (9) сводятся к стандартному трёх диагональному виду и решаются методом прогонки [8].

Приведем результаты вычислений при: Lx = 0,35 м, Ly = 0,25 м, lg=0,17 м, ρs = 1450 кг/м3; Ср = 770 Дж/(кг·ºK); λs = 1,3 Вт/(м·ºK); T0 = 200 ºК; Tg = 1800 ºК; Te = 200 ºК, αg = 3500 Вт/(м2·°С), αe = 50 Вт/(м2·°С). Результаты процесса нагрева пластины через 120 секунд приведены на рисунке 3.

график

Рисунок 3 Процесс нагрева пластины

В данной статье уравнение (8) решается с помощью метода прогонки. Метод прогонки – легкий и продуктивный алгоритм, который решает системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Приведем данное уравнение к виду [5]:

Преобразуем уравнение (8):

после

Отсюда получаем, что

При границах (AB) и (CD) (см. рис. 2) для точек 0 и будет записано в виде:

Выражения (16) и (17) будут рассматриваться в виде (14), при , так как граничные точки имеют только по одной соседней точке.

Следует записать коэффициенты , которые входят в (16) и (17), для осуществления граничных условий (10) и (13) на соответствующих границах:

В записи уравнения (16) в виде возникает алгоритм прогонки:

в котором,

Соответствие (19) ставится в (14) для i=0. В конечном итоге получается, что из можно выразить . Продолжая процесс последовательной подстановки, из можно выразить :

В этом случае, – новые коэффициенты, которые появились в результате подстановки.

Для того, чтобы выразить необходимо вернуться на стадии процесса подстановок, когда выражали в виде:

При подстановке (22) в (14) получаем выражение:

которое можно переписать в виде (21). Следовательно, получим соответственно:

Таким образом, можно увидеть, что знаменатели в выражениях (24) и (25) одинаковые.

Выражения (24) и (25) рекурсивные, таким образом, зависят от значений Данный рекурсивный процесс нуждается в отправной точке, которую обеспечивает выражением (20), которое не рекурсивно[3].

При переходе к вычислению можно заметить, что, как и Таким образом, согласно (15) . Для того чтобы получить необходимо начать процесс обратной прогонки с использованием формулы (22)[3].

Запишем алгоритм для метода прогонки.

Алгоритм метода прогонки:

1. Из выражения (20) вычислим .

2. При использовании рекурсивных формул (24) и (25) получим

3. Будем считать, что

4. Для того, чтобы найти подставим найденные величины в формулу (22) для .

Алгоритм для решения уравнения (9) будет схожим. Граничные условия на границах (BC), (CD) и (AE) будут другими. Таким образом, коэффициенты , которые входят в выражения (16) и (17) можно записать в следующем виде:

Коэффициенты выражения (9), которые входят в уравнение (14) примут вид:

Прогонка будет выполняться по индексу j, неизвестными будут

Полученные результаты могут быть использованы при решении задач рассмотренных в работе[10].


Библиографическая ссылка

Иванова Е.В., Торшина О.А. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА ПОСРЕДСТВАМ МЕТОДА РЕКФОРДА-ПИСМЕНА // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 6.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=19371 (дата обращения: 20.06.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252