Сетевое издание

Международный студенческий научный вестник

ISSN 2409-529X

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Беднаж В.А. 1 Моргунова Е.Ю. 1

---

1 Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского

Теория функций одного переменного является одним из важнейших направлений в комплексном анализе и играет значительную роль как в классической, так и в современной математике. В теории функций одного комплексного переменного и ее многочисленных приложениях существенную роль играют пространства аналитических функций в единичном круге комплексной плоскости. Методы, разработанные в процессе решения задач, связанных с этими пространствами, нашли существенные приложения в теории рядов и интегралов Фурье, в теории сингулярных и интегральных операторов и других разделах комплексного и гармонического анализа. В представленной заметке приведен обзор некоторых результатов, касающихся весовых пространств в комплексной плоскости, рассмотрены некоторые аспекты теории весовых пространств аналитических в круге функций, а именно их интегральные представления.

Статья в формате PDF

0 KB

измеримые функции

положительные функции

ограниченные функции

интегральное представление

1. Шамоян Ф.А., Родикова Е.Г. О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций // Владикавказский математический журнал. – 2014. – Т. 16: № 3. – С. 64–75.

2. Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp-классов мероморфных функций. – Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009.

3. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. – 1961. – V.28, №3. – PP.301–324.

Пусть Ω множество измеримых положительных функций ω на для которых существуют числа , причем , такие, что

,

, [1].

Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция ω, отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу Ω. Отметим также, что функции вида

при всех также принадлежат классу Ω, а функции вида

не принадлежат данному классу [2].

В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел . Рассмотрим класс Ω при

.

В следующей теореме мы получим интегральное представление функции из класса

Теорема 1.1. Класс Ω совпадает с классом функций ω, допускающих на Δ представление

где η и ε – ограниченные измеримые функции на Δ, причем

.

Доказательство теоремы основано на ряде вспомогательных утверждений. [3]

Лемма 1.1. Если

,

то

Доказательство. При оценка следует непосредственно из определения класса Ω.

Предположим, что оценка установлена для некоторого , то есть для

справедливо

Докажем аналогичную оценку при .

Пусть

.

Положим , очевидно, что

.

По предположению

.

Но поскольку , и

то

Используя предположение индукции, получим оценку

то есть , .

Лемма 1.2. Пусть тогда существуют положительные числа такие, что

.

Доказательство. Пусть

По лемме 1.1.

,

при

.

Докажем, что аналогичная оценка верна и при всех

.

Действительно, поскольку

,

то .

Записывая теперь аналогичную оценку для произвольного k, получим:

при всех

Положив далее

,

получим:

то есть

,

или

,

где

Доказательство теоремы 1.1.

Положим

(1.1)

Очевидно, что функция δ измерима и ограничена. Действительно,

,

поэтому, интегрируя по отрезку , получим:

,

, или .

Из равенства (1.1) непосредственно следует, что

.

Преобразуем последний интеграл:

.

Учитывая равенства

имеем:

Положив далее

получим нужное представление, причем

(1.2)

В дальнейшем положим

(1.3)

Очевидно, что

,

при этом

Следствие 1.1. Пусть

Тогда при справедлива оценка

.

Доказательство. Из оценок (1.2), (1.3) имеем

то есть

.

Аналогично, учитывая ограниченность функции ε снизу и оценку (1.2), получим

, .

Библиографическая ссылка