Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ ПРОИЗВОЛЬНО МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ

Кузнецов В.В. 1
1 ФГБОУ ВО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»
В статье рассмотрена теория бифуркаций систем дифференциальных уравнений, проанализированы изменения фазовых портретов систем дифференциальных уравнений при малом изменении их параметров. Автор остановился на детальном изучении случая семейства систем дифференциальных уравнений, имеющего одномерное пространство параметров, в котором бифуркации являются точечными. В случае нулевого бифуркационного значения прослежено изменение фазовых портретов. С точки зрения приложений наиболее интересными являются аттракторы (бифуркации устойчивых предельных множеств). В статье рассмотрены однопараметрические локальные бифуркации регулярных аттракторов, в частности бифуркации устойчивых особых точек: транскритическая, седло-узловая, типа вилки и Андронова-Хопфа. Наиболее подробно с изучением решений нормальных форм исследованы мягкая и жесткая бифуркации Андронова-Хопфа. Программная реализация данной бифуркации осуществлена в Math Cad 14.
фазовое пространство
динамическая система
аттрактор
бифуркация
фазовый портрет
1. Елецких К.С. Однопараметрическая локальная бифуркация Андронова-Хопфа. // Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы региональной научной студенческой конференции. – Тула.: ТулГУ, 2009. – С. 5–11.
2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 296 с.
3. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. – М.: УРСС, 2004. – 320 с.
4. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2 / под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. – М.: Физматлит, 2002. – С. 179–194.
5. Марсден Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. – М.: Мир, 1980. – 368 с.

Одним из направлений исследований теории дифференциальных уравнений и их систем было изучение нелинейных динамических систем, позволяющее рассматривать с общих позиций системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. С геометрической точки зрения динамическая система это однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (или полугруппа) преобразований фазового метрического пространства в себя. Непрерывные группы также называются потоками, а дискретные – отображениями или каскадами [2, 3]. Активное применение геометрического подхода к анализу динамических систем дифференциальных уравнений началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла (пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек и хаотическую динамику, не разрушающуюся при малых возмущениях системы). В дальнейшем были найдены и другие хаотические динамические системы, описываемые дискретными отображениями и обладающие странными аттракторами, такие, например, как логистическое отображение, отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса и др.

Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения – отображения Пуанкаре (А. Пуанкаре (1854–1912 гг.), то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца [4], в которой впервые было обнаружено нерегулярное поведение траекторий, столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей.

Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века. А результаты недавних работ позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. Сложилось впечатление, что само определение сложного (нерегулярного) аттрактора непрерывной динамической системы как странного аттрактора, а также такие традиционные разделы хаотической динамики, как вычисление размерности аттрактора, сценарии перехода к хаосу и критерии динамического хаоса требуют значительной корректировки. Тем не менее использование геометрического аппарата дает наглядное представление о поведении решений систем в зависимости от значений параметра. Остановимся на рассмотрении более простого случая однопараметрических локальных бифуркаций.

Целями нашего исследования являются: анализ устойчивости систем дифференциальных уравнений по отношению к произвольным малым возмущениям параметров таких систем; исследование процесса изменения фазовых портретов систем дифференциальных уравнений при изменении параметров этих систем.

Нами ставились следующие задачи:

1) изучение однопараметрических локальных бифуркаций;

2) проведение анализа решений соответствующих им систем в зависимости от значений параметра;

3) получение графического представления результатов исследования.

Структурная устойчивость систем дифференциальных уравнений является устойчивостью по отношению к произвольным малым гладким возмущениям векторных полей. Однако системы дифференциальных уравнений, получающиеся из различных приложений, всегда содержат то или иное число системных параметров. Поэтому с точки зрения приложений более естественным и интересным является анализ устойчивости систем дифференциальных уравнений по отношению к более узкому классу возмущений – произвольным малым возмущениям параметров таких систем. В этом случае само пространство параметров будем интерпретировать как конечномерное пространство систем дифференциальных уравнений некоторого специального вида, а возмущение конкретной системы – как некоторое возмущение ее параметров.

Теория бифуркаций систем дифференциальных уравнений, берущая свое начало в работах А. Пуанкаре, описывает качественные, скачкообразные изменения фазовых портретов систем дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении их параметров. Значения параметров, при которых происходят эти качественные изменения фазовых портретов, называются бифуркационными значениями или точками бифуркации.

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать гладкое семейство нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

ku1.wmf (1)

заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями F, зависящими от координат векторов системных параметров μ, лежащих в области L пространства ku2.wmf.

Пусть значение ku3.wmf является бифуркационным значением параметра ku4.wmf, то есть именно при этом значении параметра качественно меняется фазовый портрет семейства систем дифференциальных уравнений (1). Наиболее интересными с точки зрения различных приложений являются бифуркации устойчивых предельных множеств (аттракторов), так как они приводят к изменениям наблюдаемых в реальных экспериментах установившихся режимов. Бифуркации аттракторов принято разделять на мягкие (внутренние) и жесткие (кризисы аттракторов). Мягкие бифуркации приводят к топологическим изменениям самих аттракторов, но не приводят к их исчезновению. Жесткие бифуркации приводят к исчезновению аттракторов [3]. В дальнейшем будут рассмотрены однопараметрические локальные бифуркации устойчивых особых точек.

Пусть системы дифференциальных уравнений из (1) при всех значениях параметра ku5.wmf, лежащих в некоторой окрестности U бифуркационного значения параметра ku6.wmf, имеют своими решениями особые точки. Особая точка (положение равновесия) ku7.wmf однопараметрического семейства (1) удовлетворяет условию ku8.wmf. Линеаризуя систему (1) в окрестности особой точки, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящую от параметра ku9.wmf:

ku10.wmf (2)

где ku11.wmf. Вектор ku12.wmf является решением системы (2) для всех ku13.wmf. Введем обозначение: положим

ku14.wmf.

Бифуркации, связанные с потерей устойчивости особой точки семейства (1), определяются исключительно теми координатами системы (2), которые соответствуют собственным значениям матрицы ku15.wmf, лежащим на мнимой оси. Систему уравнений, записанную в этих координатах, называют нормальной формой семейства (1) в окрестности особой точки. Наиболее распространены следующие типы бифуркаций.

1. Транскритическая бифуркация (бифуркация обмена устойчивостью)

Нормальная форма бифуркации имеет вид ku16.wmf (или ku17.wmf). В этом случае оба стационарные решения ku18.wmf и ku19.wmf сосуществуют вместе и обмениваются устойчивостью при переходе параметра через бифуркационное значение ku20.wmf (рис.1 а).

2. Седло-узловая бифуркация

Нормальная форма седло-узловой бифуркации имеет вид ku21.wmf. Это уравнение при ku22.wmf имеет два стационарных решения ku23.wmf, одно из которых является асимптотически устойчивым, а другое – нет. При ku24.wmf оба решения сливаются в одно стационарное решение ku25.wmf, являющееся асимптотически устойчивым для траекторий, начинающихся слева от нуля и неустойчивым для траекторий, начинающихся справа от нуля. При ku26.wmf уравнение не имеет особых точек, т.е. рассмотренная бифуркация является кризисом (рис.1 б). Одновременное рождение устойчивой и неустойчивой особых точек происходит в случае обратной седло-узловой бифуркации с нормальной формой ku27.wmf (рис. 1 в).

kuz1.wmf

Рис. 1

3. Бифуркация типа вилки

Существуют два вида этой бифуркации: ku28.wmf – надкритическая и ku29.wmf – подкритическая. Для надкритической бифуркации стационарные решения имеют вид: ku30.wmf и ku31.wmf. Устойчивое стационарное решение, становясь неустойчивым, порождает два других устойчивых стационарных решения (рис.2 а).

kuz2.wmf

Рис. 2

На рис. 2б изображен один устойчивый узел до бифуркации.

В случае подкритической бифуркации стационарные решения имеют вид: ku32.wmf и ku33.wmf. Поэтому устойчивое стационарное решение (узел) становится неустойчивым (седлом, седло-узлом, седло-фокусом). Бифуркация является кризисом.

4. Бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения цикла)

Данный тип бифуркации соответствует случаю, когда при возрастании значений параметра µ два комплексно сопряженных собственных значения ku34.wmf матрицы ku35.wmf переходят при ku36.wmf слева направо через мнимую ось комплексной плоскости, а все остальные собственные значения имеют при этом отрицательные вещественные части [1, 5].

Существует два вида бифуркации Андронова-Хопфа: суперкритическая (или мягкая) бифуркация и субкритическая (или жесткая) бифуркация. Нормальная форма суперкритической бифуркации имеет вид

ku37.wmf,

где ku38.wmf или более подробно в виде

ku39.wmf (3)

Решение системы (3) можно записать в виде

ku40.wmf где функция ku41.wmf удовлетворяет уравнению ku42.wmf При ku43.wmf система имеет устойчивое решение – фокус. Программная реализация данной бифуркации осуществлена в Math Cad 14 (рис. 3).

При ku44.wmf помимо неустойчивого фокуса – стационарного решения ku45.wmf система (3) имеет еще другое решение

ku46.wmf,

траекторией которого на фазовой плоскости является предельный цикл – окружность радиуса ku47.wmf. С помощью Math Cad 14 получим фазовый портрет для этого случая (рис. 4).

kuz3.tiff

Рис. 3

kuz4.tif

Рис. 4

Субкритическая (жесткая) бифуркация Андронова-Хопфа имеет нормальную форму

ku48.wmf

Решение можно записать в виде:

ku49.wmf,

где функция ku50.wmf удовлетворяет уравнению ku51.wmf. Используя возможности Math Cad 14 построим фазовые портреты субкритической бифуркации для случаев ku52.wmf и ku53.wmf.

Бифуркация Андронова-Хопфа играет важную роль в теории нелинейных динамических систем как самостоятельный математический объект, присутствующий практически во всех классических системах с нерегулярной динамикой, например, таких как системы Лоренца, Ресслера [5].


Библиографическая ссылка

Кузнецов В.В. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С УЧЕТОМ ПРОИЗВОЛЬНО МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18228 (дата обращения: 05.12.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074