Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Каланчук И.В. 1 Попов Н.И. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
Приведены обзор и систематизация, а так же рассмотрены методы решения задач в математической физике посредством дифференциальных уравнений первого и второго порядков, классификация дифференциальных уравнений. Такой подход дал возможность получить необходимые условия оптимальности. Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики. Рассмотрено квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Рассмотрено линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Для получения общего решения уравнения рассмотрена характеристическая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведен пример применения дифференциальных уравнений к решению различных прикладных, в том числе инженерно-технических задач.
методы решения
математическая физика
дифференциальные уравнения
1. Бондаренко В.А., Мамаев И.И. Профессиональная направленность в обучении математике студентов биологических факультетов // Вестник АПК Ставрополья. – 2014. – № 1 (13). – С. 6–9.
2. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Задачи с экономическим содержанием на занятиях по дифференциальному исчислению // Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита: ежегодная 75-я научно-практическая конференция / Редколлегия: В.З. Мазлоев, А.В. Ткач, И.С. Санду, И.Ю. Скляров, Е.И. Костюкова; отв. за вып. А.Н. Бобрышев. – 2011. – С. 124–127.
3. Бондаренко В.А., Цыплакова О.Н. Некоторые аспекты интегрированного подхода изучения математического анализа // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: ежегодная 76-я научно-практическая конференция Ставропольского государственного аграрного университета «Аграрная наука – Северо-Кавказскому региону». – 2012. – С. 280–283.
4. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем // Аграрная наука, творчество, рост. 2013.
5. Перспективный облик отказоустойчивых цифровых систем управления маневренных ла / В.В. Косьянчук, С.В. Константинов, Т.А. Колодяжная, П.Г. Редько, И.П. Кузнецов // Полет: Общероссийский научно-технический журнал. – 2010. – № 2. – С. 20–27.
6. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Элементы алгоритмизации в процессе обучения математике в высшей школе // Современные проблемы развития экономики и социальной сферы: сб. материалов Междунар. науч.-практ. конф., посвященной 75-летию Ставропольского государственного аграрного университета. – 2005. – С. 526–531.

Основными уравнениями математической физики для случая, когда искомая функция u зависит от двух независимых переменных, являются следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

I. Волновое уравнение

kala1.wmf.

Это уравнение является простейшим уравнением с частными производными второго порядка гиперболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и т.д.

II. Волновое уравнение

kala2.wmf.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К решению такого уравнения сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей и газов, некоторые вопросы теории вероятностей и т.д.

III. Уравнение Лапласа

kala3.wmf,

представляющее простейшее уравнение эллиптического типа. К решению этого уравнения сводятся задачи о свойствах стационарных электрических и магнитных полей, о стационарном распределении тепла в однородном теле, задачи гидродинамики, диффузии и т.д.

Замечание 1. В общем при постановке задачи исследования следует учитывать, что физическое явление может носить одномерный, двухмерный и трёхмерный характер, а также быть стационарным (не меняющимся во времени).

Двухмерное волновое уравнение имеет вид:

kala4.wmf

которое описывает колебания мембраны и поверхности несжимаемой жидкости.

В конкретных задачах, сводящихся к уравнениям математической физики, всегда ищется не общее, а частное решение уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным определённым условиям, вытекающим из физических соображений и особенностей данной задачи.

Такими дополнительными условиями являются:

а) начальные условия, относящиеся обычно к начальному моменту времени (kala5.wmf), с которого начинается изучение данного явления;

б) граничные условия, то есть условия, заданные на границе рассматриваемой среды (области), внутри которой находится решение составленного ими данного дифференциального уравнения.

Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями.

Задача, состоящая в нахождении частного решения уравнений при начальных условиях называется задачей Коши.

Задача математической физики, в которой учитываются как начальные, так и граничные условия, называется смешанной задачей (задачей Коши общего вида).

Для решения уравнений математической физики обычно применяются:

а) метод Даламбера (метод характеристик),

б) метод Фурье (метод разделения переменных).

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

kala6.wmf. (1)

Для получения общего решения уравнения (1) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений [3]:

kala7.wmf (2)

Если с=0, то система сводится к одному уравнению

kala8.wmf.

Если kala9.wmf общий интеграл уравнения, тогда

kala10.wmf – общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка. Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных [2, 5].

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

kala11.wmf (3)

где a, b, c – это некоторые функции от x, y, которые имеют непрерывные производные до второго порядка включительно.

Для того чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду, необходимо записать так называемое характеристическое уравнение (4):

kala12.wmf (4)

из которого выходят два уравнения:

kala13.wmf;

kala14.wmf

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимых переменных можно записать в виде:

kala15.wmf,

где

kala16.wmf

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся диффузионные, тепловые процессы, зависящие от времени [1, 6].

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения этих уравнений можно разделить на две группы:

1. Аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении

2. Уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;

3. Численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Пример: Найдите функцию w=w(x,t), как решение уравнения kala17.wmf, где a>0, а=const, при начальном условии

kala18.wmf.

Решение kala19.wmf – это уравнение (уравнение переноса) в частных производных:

kala20.wmf. (1.1)

Характеристическое уравнение для (1.1) имеет вид

kala21.wmf (1.2)

kala22.wmf,

где C – произвольная постоянная. Общее решение уравнения (1.1), имеет вид бегущей волны:

kala23.wmf. (1.3)

Из (1.3) видно, что а – скорость переноса. Так как a >0, то волна бежит слева направо. Подставим начальное условие, получим:

kala24.wmf. (1.4)

Получаем:

kala25.wmf.

Ответ: Функция kala26.wmf, является решением уравнения переноса при заданном начальном условии.


Библиографическая ссылка

Каланчук И.В., Попов Н.И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 3-1.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=18212 (дата обращения: 23.07.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252