Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНОГО МЕТОДА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Жерлицина П.В. 1 Мелешко С.В. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме. Впервые матрица появилась в Древнем Китае и носила название «волшебный квадрат». Чуть позже она стала известна и арабским математикам. В конце XVII века швейцарский ученый Габриэль Крамер разработал свою теорию, а в 1751 году опубликовал один из методов решения систем линейных уравнений «правило Крамера». Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Матрица представляет собой упорядоченную систему информации, представленную в виде таблицы, которая позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и закономерности, дает возможность решать сложные задачи. Также с помощью матриц можно с минимальным количеством затрат труда и времени обработать большой статистический материал, различные данные, которые характеризуют структуру и особенности социально-экономического комплекса.
матрица
матричный метод
матричная алгебра
экономика
сырье
объем выпуска продукции
1. Блинова Ю.Ю., Родина Е.В. Решение экономических задач матричным методом // Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 140-142.
2. Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А. Математика /Рабочая тетрадь. Ставрополь, 2015.
3. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Мелешко С.В. Математические методы исследования экономических процессов // Международный журнал экспериментального образования. 2016. № 12-1. С. 116-117.
4. Линейная алгебра / Крон Р.В., Попова С.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В. // учебное пособие для студентов вузов сельскохозяйственных, инженерно-технических и экономических направлений / Москва, 2015.
5. Манько А.И., Гулай Т.А., Жукова В.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А. Обзор методов социально-экономического прогнозирования и их применение в реальной экономике // Наука и образование: современные тренды. 2015. № 2 (8). С. 438-448.
6. Немцова А.В., Попова С.В. Применение средств матричной алгебры для решения задач экономического содержания // Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 171 – 172.
7. Светличная В.Ю., Орехова Н.В., Мелешко С.В. Применение элементов линейной алгебры в экономике // Современные наукоемкие технологии. 2014. №5-2. С. 174-175.
8. Яновский А.А., Литвин Д.Б Математика /Учебное пособие. Ставрополь. 2015. Том 1.

Одним из основных методов решения экономических задач является матричный метод. На данный момент особенно актуально использование матриц для создания баз данных, ведь вся информация обрабатывается и хранится в матричной форме.

Матрица – это прямоугольная таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Размерностью матрицы называется величина m×n, где m-число строк, n-число столбцов [4].

Впервые матрица появилась в Древнем Китае и носила название «волшебный квадрат». Чуть позже она стала известна и арабским математикам. В конце XVII века швейцарский ученый Габриэль Крамер разработал свою теорию, а в 1751 году опубликовал один из методов решения систем линейных уравнений «правило Крамера». Также в этот период был создан «метод Гаусса». Огромный вклад в развитие теории матриц в середине XIX внесли такие известные ученые как Уильям Гамильтон и Артур Кэли. Наряду с ними развивали данную теорию немецкие математики Карл Вейерштрасс и Фердинанд Георг Фробениус, а также, французский математик Мари Энмон Камиль Жордан. В 1850 году Джеймс Сильвестр ввел современное понятие матрицы.

Таким образом, в математике появился раздел, который называется матричной алгеброй [6]. Матричная алгебра имеет очень важное значение в экономике. Обуславливается это тем, что матричный метод позволяет в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и объекты [1].

Матрица представляет собой упорядоченную систему информации, представленную в виде таблицы. Матрицей можно представить и систему информации о нормах материальных затрат для планирования снабжения предприятия [3]. Если предприятие производит n типов продукции, используя при этом m видов сырья, то матрица gelic01.wmf размера gelic02.wmf определяет нормы материальных затрат. Так, gelic03.wmf gelic04.wmf – норма расхода i-го вида сырья на производство единицы j-го типа продукции [7].

Рассмотрим один из примеров использования матриц в экономике.

Пусть предприятие выпускает продукцию трёх видов P1, P2, P3 используя при этом три типа сырья S1, S2, S3. Нормы расхода сырья на единицу и расход сырья на один день представлены в таблице.

Требуется:

а) соcтавить экономико-математическую модель ежедневного выпуска продукции каждого из трёх видов P1, P2, P3, предполагая полное использование сырья;

б) найти ежедневный объём выпуска каждого вида изделий (систему решить матричным методом).

Тип сырья

Расход сырья

на 1 день, усл.ед.

Нормы расхода сырья на единицу продукции, усл. ед.

   

P1

P2

P3

S1

8900

7

4

2

S2

4550

2

3

2

S3

2350

0

1

5

Обозначим через x1, x2, x3 ежедневный объём выпуска изделий вида P1, P2, P3 соответственно.

Составим математическую модель задачи.

gelic06.wmf (1)

gelic07.wmf (2)

Система линейный уравнений (1) с ограничениями (2) представляет собой экономико-математическую модель ежедневного выпуска продукции вида P1, P2, P3 [5].

Решив систему (1), найдем ежедневный объем выпуска продукции каждого вида в предположении полного использования сырья.

Перепишем систему (1) в матричном виде.

Матрица системы (1):

gelic08.wmf

Матрица-столбец неизвестных:

gelic09.wmf

Матрица-столбец свободных членов:

gelic10.wmf

Тогда система (1) в матричном виде: gelic11.wmf.

Матрицу Х можно выразить, если умножить обе части этого уравнения слева на матрицу, обратную матрице А:

gelic12.wmf gelic13.wmf

Это уравнение можно решить, если определитель матрицы А не равен нулю [2]:

gelic14.wmf

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

gelic15.wmf

где Aij – алгебраические дополнения [8].

Транспонированная матрица имеет вид:

gelic16.wmf

Найдем алгебраические дополнения.

gelic17.wmf gelic18.wmf

gelic19.wmf gelic20.wmf

gelic21.wmf gelic22.wmf

gelic23.wmf gelic24.wmf

gelic25.wmf gelic26.wmf

gelic27.wmf gelic28.wmf

gelic29.wmf gelic30.wmf gelic31.wmf gelic32.wmf

gelic33.wmf gelic34.wmf

Обратная матрица равна:

gelic35.wmf

Так как, gelic36.wmf значения неизвестных равны:

gelic37.wmf

gelic38.wmf

Таким образом, x1 = 700, x2 = 850, x3 = 300, т.е. ежедневный объем выпуска продукции вида P1 составляет 700 ед., продукции вида P2 составляет 850 ед., продукции вида P3 – 300 ед.

Из изложенного выше следует, что матрицы имеют ряд достоинств: позволяют в достаточно простой и понятной форме записывать различные экономические процессы и закономерности, дают возможность решать сложные задачи. Также с помощью матриц можно с минимальным количеством затрат труда и времени обработать большой статистический материал, различные данные, которые характеризуют структуру и особенности социально-экономического комплекса.


Библиографическая ссылка

Жерлицина П.В., Мелешко С.В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНОГО МЕТОДА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17426 (дата обращения: 13.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074