Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

РАСЧЕТ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Гулай Т.А. 1 Диговцов Г.В. 1 Красько А.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
Комплексные числа – один из разделов курса математического анализа более всего подходящий для профессиональной направленности инженеров-бакалавров по направлению подготовки «Информатика и вычислительная техника», а также «Электроэнергетика и электротехника». При изучении комплексных чисел нужно учитывать применение знаний математики в специальных и общетехнических дисциплинах, в частности электротехнике. К КЧ применимо понятие сопряжения. Им называют те числа, которые равны по величине модулей и аргументов, но имеют разные знаки у аргументов. Использование комплексных чисел дает инженерам возможность пользоваться законами, формулами и методами расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для проведения расчетов цепей переменного тока, упрощать различные расчеты, заменив векторно-графическое решение алгебраическими методами, рассчитывать сложные цепи, которые невозможно решить иным путем, упрощать расчеты цепей переменного и постоянного токов.
комплексные числа
действительная часть
мнимая часть
цепь
проводимость
сопротивление
1. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Коррекция динамического диапазона статистических данных // Статистика вчера, сегодня, завтра : Междунар. науч.-практ. конф., посвященная 155-летию образования Ставропольского губернского комитета статистики, 150-летию образования в России Центрального статистического комитета и Международному году статистики. 2013. С. 148–152.
2. Гулай Т.А., Невидомская И.А., Мелешко С.В. Анализ и оценка приоритетности разделов дисциплины «Математический анализ» изучаемой студентами инженерных направлений // European Social Science Journal. 2013. № 8–2 (35). С. 109–115.
3. Мамаев И.И., Бондаренко В.А., Попова С.В. Методы дифференциального исчисления в математическом моделировании экономических процессов // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем: 2-я Междунар. науч.-практ. конфРоссия. 2011. С. 162-164.

Одно из первых упоминаний о «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел ученые относят к XVI веку. Итальянский инженер и математик Джироламо Кapдaнo (1501–1576) внёс значительный вклад в развитие алгебры. В 1545 году опубликовал работу, в которой, при попытке решить уравнение gulT01.wmf, он получил выражение gulT02.wmf. Через получившиеся выражение представлялись действительные корни уравнения: gulT03.wmf. Так, в работе, Кapдaнo мнимые числа упоминались как промежуточные звенья в вычислительных действиях. Заслуга Кapдaнo заключалась в том, что он допустил существование «несуществующего» числа gulT04.wmf, вводя правило умножения: gulT05.wmf. Так он первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений.

Несмотря на это еще в течении нескольких сотен лет математики пытались привыкнуть к этим новым «мнимым» числам, порой предпринимая попытки избавиться от них. И только с XIX века, после публикации Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) своих работ, написанных в доказательство основной теоремы алгебры, комплексные числа прижились в науке.

Вовремя расчетах цепей приходится проводить математические действия с комплексными числами, поэтому студенты инженерных направлений должны уметь выполнять следующие операции:

1) переводить комплексное число из начальной формы в необходимую;

2) находить аргумент и модуль комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу;

3) производить основные арифметические действия с комплексными числами [1].

Кроме того, очень важно уметь строить вектор и кривую исходя из уравнения синусоиды, вектор по комплексному числу, определять комплексное число по вектору и уравнению, уравнение по комплексному числу.

Подавляющее количество электроустановок работает на переменном токе, который изменяется по синусоидальному закону. Этим можно объяснить, почему в электротехнике тематике «Переменный ток» уделено наиважнейшее внимание [2].

Термином комплексного числа (далее в тексте – КЧ) пользуются для обозначения выражений вида: gulT06.wmf, в которых индекс «ċ» используется для обозначения КЧ, а «а» и «b» отображают действительную и мнимую части. Значение «j» обозначает мнимую единицу и равно gulT07.wmf

В английском языке словом Real принято характеризовать действительность, а термином Imaginary – мнимые свойства. От этих слов были созданы обозначения Re и Im, которые используются для выражения величин «а» и «b» следующим способом:

gulT08.wmf

Для геометрического отображения КЧ в векторной форме применяется комплексная плоскость. У нее горизонтальная ось помечается знаком +1, а вертикальная – символом +j. Термин действительной (реже вещественной) части используется для наименования горизонтальной оси, а для вертикальной – мнимой.

Обе составляющие (действительная и мнимая) КЧ являются прямоугольными проекциями вектора на соответствующие оси.

gulR1.tif

Рис. 1

В представленном графике значение gulT09.wmf именуется модулем КЧ и равно длине вектора. Другим параметром, определяющим положение радиус-вектора, является его угол поворота α от оси +1 до текущего положения ċ, считающийся аргументом. gulT10.wmf

Катеты треугольника представляются через соотношения:

gulT11.wmf

Используя тригонометрическую форму для выражения КЧ можно представить его в виде:

gulT12.wmf

Используя формулу Эйлера ejα = cosα +
+ jbsinα, можно получить значение модуля в показательной форме gulT14.wmf.

В полярной форме выражение имеет вид:

gulT15.wmf.

Положение единичного вектора можно изобразить на комплексной плоскости:

gulR2.tif

Рис. 2

Мнимая единица имеет свойства:

gulT16.wmf

gulT17.wmf

К КЧ применимо понятие сопряжения. Им называют те числа, которые равны по величине модулей и аргументов, но имеют разные знаки у аргументов.

gulR3.tif

Рис. 3

gulT18.wmf

Из графика видно, что изображенные векторами КЧ симметричны по отношению к горизонтальной оси.

КЧ и математические действия. Для их сложения или вычитания делается запись в алгебраическом выражении:

gulT19.wmf

gulT20.wmf

В этом соотношении отдельно суммируются мнимые и вещественные составляющие:

gulT21.wmf.

Данные алгебраические сложения чисел выражают выполнение сложения соответствующих им векторов.

Выполняя сложение сопряженных чисел можно заметить, что их сумма выражается удвоенным значением вещественной составляющей:

gulT22.wmf.

Выражения КЧ в показательной форме удобны для выполнения умножения или деления. При этом у них модули перемножают или делят, значения аргументов складывают либо вычитают.

gulT23.wmf

gulT24.wmf

В выражении gulT25.wmf.

Нетрудно заметить, что при действии умножения длина вектора увеличивается в величину с2, а аргумент – на значение а2. При представлении КЧ векторами соблюдается закономерность: для умножения вектора на КЧ вида aеjα достаточно растянуть вектор ва раз и довернуть на угол α.

gulR4.tif

Рис. 4

Для вычисления произведения сопряженных чисел достаточно взять квадрат их модуля:

gulT26.wmf

или

gulT27.wmf.

Для перемножения и деления КЧ при определенных условиях удобно пользоваться их алгебраическим выражением. В таком виде действия проводятся по законам умножения многочленов и учете значения j2=-1.

gulT28.wmf

gulT29.wmf.

Для деления чисел достаточно избавиться от значения j в выражении знаменателя методом перемножения знаменателя и числителя на одно и то же выражение сопряженного знаменателя:

gulT30.wmf

gulT31.wmf gulT32.wmf

gulR5.tif

Рис. 5

gulR6.tif

Рис. 6

Графики построенных векторных диаграмм могут иметь изображение (рис. 5):

Для выражения значения тока с синусоидальной формой пользуются соотношением gulT33.wmf, которым изображают на комплексной плоскости вектор с длиной Im и углом наклона ψ к горизонту. Его выражение gulT34.wmf считают комплексной амплитудой для тока. представляют графиком (рис. 6).

Чтобы получить действующую величину для тока требуется комплексную амплитуду разделить на gulT35.wmf.

gulT37.wmf

В электротехнике заглавные буквы с расположенными над ними точками (E, U, I) используются для обозначения КЧ, выражающих синусоидальные зависимости от времени ЭДС, напряжения и тока [3].

Обозначение комплексной проводимости и сопротивления делается прописными буквами Y и Z, для показа их модулей используется строчное написание у и z. Обозначение комплексной мощности выполняется символом S со значком тильда «҇» над ним.


Библиографическая ссылка

Гулай Т.А., Диговцов Г.В., Красько А.А. РАСЧЕТ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17424 (дата обращения: 13.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074