Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Босов В.А. 1 Петренко Д.С. 1
1 ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»
Данная статья посвящена изучению комплексных чисел и математическим операциям над ними, а также применению КЧ в электротехнике для расчёта сложных электрический цепей с помощью КЧ. Первым, кто открыл комплексные числа (КЧ), был итальянский учёный, математик и инженер Кардано Джероламо в одной из своих работ. В первой части статьи дано определение Комплексного числа, его форм представления, показана роль КЧ в расчёте электрических цепей. Далее излагается, какие операции должен уметь выполнять студент с КЧ и о роли переменного тока в электротехнике. Приведены наглядные примеры общего вида уравнений переменного напряжения и тока. Описаны свойства переменных синусоидальных величин, возможные математические операции над ними, три возможные формы представления комплексного числа, а также условия, при которых возможен переход от синусоидальной величины к комплексному числу. В статье присутствует пример представления синусоидальных тока и напряжения как КЧ во всех трёх формах: алгебраической, показательной и тригонометрической. Целью данной работы является разбор и усвоение темы «Использование комплексных чисел в электротехнике», а также их применение на практике при расчёте сложных электрических цепей, их свойства и возможные операции над ними.
комплексные числа (КЧ)
электротехника
электрические цепи
1. Гулай Т.А., Литвин Д.Б., Долгополова А.Ф. Использование математических методов для анализа динамических свойств управляемого объекта // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем. 2012. С. 167–170.
2. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Математическое моделирование социально-экономических систем // Учетно-аналитические и финансово-экономические проблемы развития региона: Ежегодная 76-я науч.-практ. конф. СтГАУ «Аграрная наука – Северо-Кавказскому региону». 2012. С. 283–286.
3. Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Личностно-ориентированное обучение математике студентов экономических направлений как средство повышения качества обучения // Теоретические и прикладные проблемы современной педагогики. 2012. С. 28–33.
4. Субоптимальное оценивание вектора угловой скорости объекта по измерениям распределенной акселерометрической системы / Д. Б. Литвин, А. Н. Хабаров, И. П. Шепеть, В. Г. Бондарев, Е. В. Озеров. Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 3 (11). С. 60–63.
5. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем // Аграрная наука, творчество, рост. 2013. С. 263–265.
6. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Коррекция динамического диапазона статистических данных // Статистика вчера, сегодня, завтра: Междунар. научно-практ. конф., посвященная 155-летию образования Ставропольского губернского комитета статистики, 150-летию образования в России Центрального статистического комитета и Международному году статистики. 2013. С. 148–152.
7. Метод повышения точности измерения векторных величин / Д. В. Бондаренко, С. М. Бражнев, Д. Б. Литвин, А.А. Варнавский. НаукаПарк. 2013. № 6 (16). С. 66–69.
8. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Совершенствование экономических механизмов для решения проблем экологической безопасности // Информационные системы и технологии как фактор развития экономики региона: II Междунар. науч.-практ. конф. 2013. С. 68–71.
9. Литвин Д.Б., Шепеть И.П. Моделирование роста производства с учетом инвестиций и выбытием фондов // Социально-экономические и информационные проблемы устойчивого развития региона: Междунар. науч.-практ. конф. 2015. С. 114–116.
10. Litvin D., Ghazwan R Q. Thinking skills product in mathematics among the students of the university // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона.: материалы Междунар. науч.-практ. конф. 2014. С. 5–9.
11. Устройство для решения дифференциальных уравнений / И. П. Шепеть, С. М. Бражнев, Д. Б. Литвин, Е.Д. Литвина, А. В. Захарин, С. В. Слесаренок патент на изобретение RUS 2538945 26.12.2013.
12. Литвин Д.Б., Таволжанская О.Н. Элементы математической статистики: учебное пособие. Ставрополь, 2015.
13. Litvin D.B. Mathematical self-concept among university students // Аграрная наука, творчество, рост: сб. науч. тр. по материалам IV Междунар. науч.-практ. конф. 2014. С. 326–329.
14. Применение дифференциального исчисления функций нескольких переменных к разработке алгоритма определения координат объекта / Д.Б. Литвин, И.П. Шепеть, В.Г. Бондарев, Е.Д. Литвина // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: материалы Ежегодной 78-й науч.-практ. конф. 2014. С. 242–246.
15. Литвин Д.Б., Дроздова Е.А. Математическое моделирование в среде визуального программирования. Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. С. 77–78.

Первое упоминание о так называемых «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел появилось ещё в XVI в. В 1545 г. итальянским учёным Д. Кардано (1501-1576) была проделана работа, в которой, пробуя решить уравнение bos01.wmf, он получил bos02.wmf. Через данное выражение представились действительные корни уравнения: bos03.wmf,
bos04.wmf. Заслуга Джироламо Кардано заключалась в предположении существования «несуществующего числа» bos05.wmf, вследствие чего он ввёл правило умножения: bos06.wmf [4].

Комплексные числа (КЧ) – это курс математики, наиболее удобный и подходящий для подготовки профессионального направления бакалавра по таким направлениям как: Информатика и вычислительная техника. Так же при изучение комплексных чисел важно учесть применение знаний математики в специальных, общетехнических дисциплинах, в частности в электротехнике [5]. Использование комплексных чисел даёт возможность применять формулы, законы и методы расчётов, применяющиеся в цепях переменного и постоянного токов, упростить некоторые вычисления, путём замены графического решения алгебраическим и рассчитать сложные электрические цепи, а так же упростить решения по расчётам цепей переменного и электрического токов [11, 13].

Для того, чтобы студент мог проводить математические операции с КЧ, он должен уметь: 1) находить модуль а аргумент комплексного числа и, наоборот, комплексное число по его аргументу и модулю; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить умножение и деление, сложение и вычитание комплексных чисел [10].

Кроме этого, довольно важную роль занимает умение построения кривой и вектора по уравнению синусоиды, вектора по КЧ, определения КЧ по уравнению и вектору и уравнения по комплексному числу [6].

В теме «Переменный ток» занимает очень важное место в электротехнике, так как большая часть электротехнических установок работает на переменном токе, который в свою очередьизменяется по синусоидальному закону.

bos27.wmf

– уравнение переменного напряжения, где u – мгновенное значение напряжения; UM – макс. значение (амплитуда) напряжения; w – угловая частота; t – время; φ – начальный фазовый угол; wt = α – электрический угол. Данное уравнение объединяет (связывает) две переменные величины: напряжение u и время t. Напряжение изменяется синусоидально с течением времени [1].

Подобный вид имеют уравнения тока и Э.Д.С.:

bos07.wmf;

bos08.wmf.

Для того чтобы произвести расчёт цепей переменного тока используют синусоидально изменяющимися параметрами, т.е. выполнять сложение, вычитание, умножение и деление, приведённого выше типа уравнений .

Складывать синусоидальные величины довольно сложно, особенно при сложении большого числа уравнений [9, 12].

Переменная синусоидальная величина имеет следующие свойства:

1. Переменную синусоидальную величину можно представить определённо вектором. Длина этого вектора будет равна величине амплитуды, а угол наклона – начальномуфазовому углу соответственно.

2. Сложение и вычитание данных величин дозволено заменить сложением и вычитаем векторов.

Помимо сложения и вычитания синусоидальных величин требуется умножать и делить. Именно здесь нам помогают комплексные числа.

На плоскости комплексное число принято изображать в виде вектора, длина которого будет равна модулю данного числа, а угол наклона – его аргументу. В сравнении с математикой в электротехнике мнимое число принято обозначать буквой j. Если дано некоторое КЧ bos09.wmf, то его можно представить в виде вектора, где его модуль будет равен bos10.wmf, а его аргумент соответственно – bos11.wmf [2, 14].

Комплексное число обладает тремя формами: bos12.wmf – алгебраической; bos13.wmf – показательной; bos14.wmf – тригонометрической.

Комплексное число определённо представлено вектором, а определённому вектору соответствует определённое комплексное число [8].

Стало быть, что переменную синусоидальную величину мы можем представить комплексным числом, если:

а) переменную синусоидальную величину возможно представить вектором;

б) данному вектору соответствует конкретное комплексное число.

Комплексными числами можно выражать следующие величины: ток, напряжение, мощность, проводимость и сопротивление [3].

Напряжение и ток

Дано уравнение напряжения – bos15.wmf. В электротехнике принято брать за длину вектора действующее значение, а не максимальное. Она находится (вычисляется) как частное максимального значения UM и bos16.wmf, и обозначается буквой U без индекса:

bos17.wmf;

Комплексом bos18.wmf – называется синусоидальная величина, которая выражена комплексным числом.

Комплекс напряжения, как и комплексное число можно записать в трёх формах:

а) bos19.wmf – алгебраической;

б) bos20.wmf – показательной;

в) bos21.wmf – тригонометрической.

Следовательно, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, реактивная – мнимой части, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения [7, 15].

Аналогичные формы для тока:

bos22.wmf;

bos23.wmf;

bos24.wmf;

bos25.wmf;

bos26.wmf.

Итак, комплексны числа (КЧ), как уже вначале говорилось, – это курс математики наиболее удобный для изучения такой дисциплины, как электротехника. Именно комплексные числа позволяют применять законы и формулы в цепях постоянного и переменного токов, упрощают различного вида вычисления и помогают рассчитывать сложные электрические цепи.


Библиографическая ссылка

Босов В.А., Петренко Д.С. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ КОМПЛЕКСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17421 (дата обращения: 13.08.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074