Проблема исследования
За кафедрой естественнонаучных дисциплин Уральского госуниверситета путей сообщения закреплено 214 учебных курсов, которые должны быть обеспечены рабочими программами. Этот массив документов требует корректировки в связи с появлением новых требований и коррекцией учебных планов. Возникает необходимость вероятностного прогнозирования работы сотрудников кафедры, занятых этим вопросом.
Задача исследования
Подразделение обеспечивает соответствие документов текущим требованиям. Количество документов примем равным двумстам. Каждый документ в течение года (в случайном порядке) требует коррекции. Эту работу выполняют несколько (m) исполнителей с ограниченной производительностью. Задачей нашего исследования было изучение закономерности такого случайного процесса.
Техника исследования, первичный план и его коррекция
Первоначально предполагалось рассмотреть разное количество исполнителей (m равное от 1 до 4) с их разной номинальной производительностью (от 20 до 40) с помощью аппарата теории замкнутых систем массового обслуживания (СМО), описанного в [1] и [2].
Граф состояний марковского процесса гибели-размножения, соответствующего такой СМО, представлен на рисунке.
В приведенном графе:
– Номер состояния соответствует количеству документов (из 200), требующих коррекции.
– Интенсивности перехода с увеличением номера состояния определяются количеством документов, не требующих коррекции в рассматриваемом состоянии.
– Интенсивности переходов с уменьшением номера состояния пропорциональны количеству каналов, вступивших в работу, и их номинальной производительности.
При известных интенсивностях переходов вероятности состояний находятся следующим образом (с некоторым изменением использован алгоритм, приведенный в [3]). Сначала последовательно определяются вспомогательные коэффициенты ki.
Затем появляется возможность последовательно определить значения p0 и pi.
Причем
Результаты вычисления вероятностей состояний, после группирования, интерпретировались как «успеваемость» кафедры, то есть вероятности того, что некоторая доля от обслуживаемых рабочих программ – в «исправном» состоянии.
В результате применения данной техники к ситуациям с разным количествам исполнителей были, в первую очередь, получены распределения вероятностей разных состояний «успеваемости». Попарно сравнивая результаты моделирования для СМО с разным количеством каналов обслуживания, но одинаковой общей номинальной производительностью всех каналов, мы заметили, что практическое значение имеет общая номинальная производительность СМО, а не её составные части. Действительно, различия в моделях этих СМО наблюдаются только в нескольких первых состояниях (причем, далеко не самых вероятных) из двухсот. Поэтому из дальнейшего исследования были исключены некоторые дубликаты ситуаций и доплнительно введены случаи с общей номинальной производительностью СМО mμ, равной 100 и 140, не реализованные в первичном плане.
Полиномы полученных распределений (для разных значений номинальной производительности СМО) и их интегральные функции представлены на двух следующих рисунках и в таблице:
Общие выводы по распределениям и статистикам
Полученные в первичном исследовании результаты были подвергнуты вторичной обработке путем определения обобщающих характеристик, что соответствует рекомендациям в [4]. По ним сделаны выводы:
– В исследованном диапазоне мода распределения практически линейно зависит от общей номинальной производительности СМО.
– Математическое ожидание номера состояния в рассмотренном диапазоне совпадает с его модой.
– Вероятность десяти состояний, близких к моде, убывает при увеличении производительности СМО.
– Дисперсия номера состояния совпадает с номинальной производительностью СМО.
Только для СМО с производительностью 160 появляется заметное отклонение от последней из указанных выше закономерностей, что привлекает внимание к таким режимам работы СМО, в которых её производительность близка к максимально возможной интенсивности поступающих заявок.
В данном случая были взяты 5 человек с производительностью 40 и общей производительностью СМО, равной 200. Обнаружились существенные отклонения от общих закономерностей. Наиболее вероятное состояние СМО – четвертое, дисперсия номера состояния становится относительно малой.
Основные выводы исследования
– Исследование показало, что в большом диапазоне значений производительности СМО (10-80% от максимальной интенсивности заявок) из-за действия «законов больших чисел» для предсказания фактической производительности СМО случайностями в потоке заявок можно пренебрегать, то есть производительность СМО определяется пропускной способностью каналов, а не этими случайностями.
– При приближении производительности СМО к максимальной интенсивности заявок явно влияют особенности потока заявок, а дисперсия состояний возрастает (однако, при дальнейшем увеличении производительности, дисперсия демонстрирует резкий спад).
– Заметно, что взятая модель не вполне отражает действительность: из исследования следует, что каналы в СМО практически не простаивают, а в действительности простои имеют место.
Библиографическая ссылка
Коваль Д.В., Огурцова М.Д., Гончарь П.С. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОКУМЕНТАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ УЧЕБНЫХ КУРСОВ С ПОМОЩЬЮ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4-2. ;URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17375 (дата обращения: 26.04.2024).