Электронный научный журнал
Международный студенческий научный вестник
ISSN 2409-529X

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Васильева В.А. 1 Максимова Е.В. 1
1 Ставропольский государственный аграрный университет
1. Литвин Д.Б., Цыплакова О.Н., Родина Е.В. Моделирование экономических процессов в пространстве состояний // Теоретические и прикладные аспекты современной науки: сборник статей Международной научно-практической конференции / Отв. за вып. АГ. Иволга; ФБГОУ ВПО «Ставропольский государственный аграрный университет», 2014. – С. 62-66.
2. Цыплакова О.Н., Салпагарова Ф.А.-А., Богданова А.А. Экономико-математическое моделирование в исследовании объектов // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-2. – С. 180-181.
3. Долгополова А.Ф., Мелешко С.В., Цыплакова О.Н. Применение анализа чувствительности модели при восстановлении финансового равновесия предприятия // Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу: Сборник научных трудов по материалам 80-й Ежегодной научно-практической конференции / Ставропольский государственный аграрный университет; редколлегия: Е.И. Костюкова, М.Г. Лещева, А.Н. Герасимов, Ю.М. Склярова, Н.В. Кулиш, И.И. Глотова, Д.Б. Литвин, А.В. Фролов. – 2015. – С. 98-103.

В современных рыночных условиях функционирования экономики широкое применение получили различные математические методы моделирования. Объясняется это тем, что математические методы прочно утвердились в любой экономической науке, в силу того, что их использование способно открыть новые дополнительные возможности в экономической практике и теории. Любой современный экономист обязан разбираться в экономико-математических методах, так как именно знание математических моделей способствует лучшему пониманию причин возникновения различных экономических ситуаций, а также позволяет осознавать и сопоставлять возникающие закономерности и правильно прогнозировать последствия принимаемых экономических решений. Применение математических методов подразумевает использование линейных моделей математического программирования.

Линейное программирование – это сектор математики, который занимается разработкой теории и численных методов решения задач по определению экстремума линейной функции множества переменных при наличии определенных линейных ограничений, связывающие данные переменные. Актуальность и значимость линейного программирования заключается в его способности решить широкий круг вопросов и проблем экономики по поиску наилучшего решения данных проблем. В частности линейное программирование используется в таких сферах, как планирование товароснабжения города (района), планирование производства предприятия, планирование товарооборота, оптимальной нагрузки оборудования и так далее.

Задача линейного программирования заключается в нахождении максимума или минимума линейной функции

prakt192.wmf (1)

при существующих ограничениях

prakt193.wmf (2)

prakt194.wmf (2.1)

где prakt195.wmf – неизвестные переменные; prakt196.wmf – заданные постоянные величины.

Равноценная запись данной задачи с помощью знака суммирования имеет вид:

prakt197.wmf

prakt198.wmf

prakt199.wmf. (3)

Функцию F в данном случае называют целевой функцией, либо линейной формой или критерием оптимальности. Система ограничений (2) определяется как функциональные ограничения задачи линейного программирования, а ограничения (2.1) являются прямыми.

При условии того, что в математической модели задачи линейного программирования (1) и (2.1) ограничения (2) заданы только в форме равенств, то итоговая задача будет называться канонической задачей линейного программирования. Если же данные ограничения заданы только в форме неравенств, то она определяется как стандартная (симметричная) задача линейного программирования.

Объединение неизвестных значений

prakt200.wmf,

которые удовлетворяют системе ограничений (2) и (2.1), понимают как допустимое решение либо же, как план задачи линейного программирования, иначе говоря, ограничения (2) и (2.1) определяют область допустимых решений. Допустимое решение задачи называется оптимальным в случае, если оно обеспечивает максимальное или минимальное значение целевой функции F.

Необходимо также отметить, что всякую задачу линейного программирования можно свести к канонической форме. Это достигается за счет преображения любого неравенства вида «меньше или равно» в равенство путем добавления к его левой части вспомогательной неотрицательной переменной, однако неравенство вида «больше или равно» необходимо вычесть из его левой части вспомогательной неотрицательной переменной. Следует учитывать, что возможен случай, когда на какую-либо неизвестную xs не наложено условие неотрицательности, тогда ее можно заменить двумя неотрицательными величинами us и vs, приняв prakt202.wmf

Рассмотрим конкретный пример создания экономика – математической модели задачи линейного программирования. Для этого необходимо пройти следующие этапы:

1. Обозначение всех переменных;

2. Составление целевой функции с учетом целей линейной задачи;

3. Составить систему ограничений, исходя из имеющихся показателей и их количественных закономерностей.

Необходимо помнить, что в ходе записи модели необходимо обязательно учитывать единицы измерения переменных, как целевой функции, так и задачи и всех ограничений.

Задача. Кондитерский комбинат освоил выпуск новых видов конфет: «Любимые» и «Пчелка». Ожидаемый спрос на данные продукты составляет не больше 15 и 12 т в месяц. Так как данный комбинат помимо прочего также выпускает традиционные виды продукции, каждый из 4 цехов способен выделить на производство новых видов конфет ограниченное количество времени. Выделяемые месячные ресурсы времени и затраты каждого цеха по осуществлению технологического процесса при выработке 1 т конфет каждого вида представлены в таблице. В ней также показаны оптовые цены конфет. Необходимо определить наиболее оптимальный объем выпуска каждого вида конфет, при котором будет получена максимальная прибыль комбината.

Построение математической модели. В приведенной задаче необходимо установить, сколько каждого вида конфет нужно производить в текущем месяце. Следовательно, искомыми переменными являются объемы выпуска каждого вида конфет. Отсюда x1 – объем выпуска конфет «Любимые», а x2 – объем выпуска конфет «Пчелка».

Исходные данные

Номер цеха

Затраты времени на выработку 1 т, ч

Временные ресурсы, ч

«Любимые»

«Пчелка»

1

2

7

66

2

3

5

45

3

2

4

58

4

1

6

72

Оптовая цена, тыс. руб. / т

156

168

 

Из условия задачи определяем цель, в нашем случае это достижение максимальной прибыли в ходе реализации производимого продукта. Для того чтобы рассчитать объем прибыли от продажи конфет, необходимо знать объемы производства, то есть x1 и x2 (т)конфет обоих видов, а также оптовые цены. Согласно приведенным в табл. 1 данным, прибыль от реализации конфет «Любимые» равна 156 x1 тыс. руб. в месяц, а от реализации конфет «Пчелка» – 168 x2 тыс. руб. в месяц. Благодаря данным значениям можем записать целевую функцию:

prakt210.wmf (тыс. руб./мес.)

Ограничения заключаются в следующем:

Объемы производства конфет не могут быть отрицательными;

Затраты временных ресурсов каждого цеха не могут быть больше месячного лимита времени по отдельно взятому цеху;

Согласно результату ожидаемого спроса объем изготовляемых конфет не должен превышать 15 тон для вида «Любимого» и 12 тон – для «Пчелки».

То есть все ограничения можно подразделить на три вида: временные затраты; неотрицательность объемов изготовляемой продукции; рыночный спрос на конфеты;

Запишем все ограничения в математическом виде:

Левая часть ограничений представляет собой время, затраченное каждым цехом на производство конфет в течение месяца в количестве x1 и x2 тонн. Правая же часть состоит из временных ресурсов (лимита времени) рабочего времени каждого цеха. Соответственно, ограничение по цехам имеет вид:

prakt213.wmf (ч/мес.);

prakt214.wmf (ч/мес.);

prakt215.wmf (ч/мес.);

prakt216.wmf (ч/мес.).

Неотрицательность объемов изготовляемой продукции определяется как:

prakt217.wmf

Ограничения по объему производства конфет, исходя из рыночного спроса, имеют вид:

prakt218.wmf

Обобщая вышеизложенное, математическая модель задачи линейного программирования будет иметь следующий вид:

prakt219.wmf,

prakt220.wmf

prakt221.wmf

Подводя итог, необходимо отметить особую роль линейного программирования в математических моделях, так как именно оно способствует наиболее эффективному принятию оптимального решения в серьезных экономических проблемах.


Библиографическая ссылка

Васильева В.А., Максимова Е.В. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В СИСТЕМЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=15012 (дата обращения: 07.03.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074